Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78921 / 83829
↖ ↑ ↗
← S 44.818864°
E 36.763000°		 ← 216.65 m → S 44.818864°
E 36.765747°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.820812°
E 36.763000°		 ← 216.64 m →
46 929 m²		 S 44.820812°
E 36.765747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602123260498047 y=0.639568328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602123260498047 × 217)
    floor (0.602123260498047 × 131072)
    floor (78921.5)     		tx = 78921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639568328857422 × 217)
    floor (0.639568328857422 × 131072)
    floor (83829.5)     		ty = 83829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78921 / 83829 ti = "17/78921/83829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78921/83829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78921 ÷ 217
    78921 ÷ 131072     		x = 0.602119445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83829 ÷ 217
    83829 ÷ 131072     		y = 0.639564514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602119445800781 × 2 - 1) × π
    0.204238891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.64163540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639564514160156 × 2 - 1) × π
    -0.279129028320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.876909704749687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64163540} λ = 0.64163540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876909704749687))-π/2
    2×atan(0.416066695958018)-π/2
    2×0.394279793182768-π/2
    0.788559586365536-1.57079632675     		φ = -0.78223674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64163540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.763000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78223674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.818864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78921 KachelY 83829 0.64163540 -0.78223674 36.763000 -44.818864
    Oben rechts KachelX + 1 78922 KachelY 83829 0.64168334 -0.78223674 36.765747 -44.818864
    Unten links KachelX 78921 KachelY + 1 83830 0.64163540 -0.78227074 36.763000 -44.820812
    Unten rechts KachelX + 1 78922 KachelY + 1 83830 0.64168334 -0.78227074 36.765747 -44.820812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78223674--0.78227074) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78223674--0.78227074) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64163540-0.64168334) × cos(-0.78223674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709338707764295 × 6371000     		do = 216.650299729913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64163540-0.64168334) × cos(-0.78227074) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709314741849531 × 6371000     		du = 216.642979922662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78223674)-sin(-0.78227074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709338707764295-0.709314741849531)×R²
    abs(0.64168334-0.64163540)×2.39659147636129e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39659147636129e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39659147636129e-05×40589641000000     		ar = 46928.6952439425m²