Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78921 / 59852
↖ ↑ ↗
← N 15.421910°
E 36.763000°		 ← 294.43 m → N 15.421910°
E 36.765747°		 →
↑
294.40 m
↓
↑
294.40 m
↓
N 15.419263°
E 36.763000°		 ← 294.43 m →
86 681 m²		 N 15.419263°
E 36.765747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602123260498047 y=0.456638336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602123260498047 × 217)
    floor (0.602123260498047 × 131072)
    floor (78921.5)     		tx = 78921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456638336181641 × 217)
    floor (0.456638336181641 × 131072)
    floor (59852.5)     		ty = 59852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78921 / 59852 ti = "17/78921/59852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78921/59852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78921 ÷ 217
    78921 ÷ 131072     		x = 0.602119445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59852 ÷ 217
    59852 ÷ 131072     		y = 0.456634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602119445800781 × 2 - 1) × π
    0.204238891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.64163540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456634521484375 × 2 - 1) × π
    0.08673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.272473337440399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64163540} λ = 0.64163540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272473337440399))-π/2
    2×atan(1.31320844494728)-π/2
    2×0.91997972010701-π/2
    1.83995944021402-1.57079632675     		φ = 0.26916311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64163540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.763000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26916311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.421910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78921 KachelY 59852 0.64163540 0.26916311 36.763000 15.421910
    Oben rechts KachelX + 1 78922 KachelY 59852 0.64168334 0.26916311 36.765747 15.421910
    Unten links KachelX 78921 KachelY + 1 59853 0.64163540 0.26911690 36.763000 15.419263
    Unten rechts KachelX + 1 78922 KachelY + 1 59853 0.64168334 0.26911690 36.765747 15.419263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26916311-0.26911690) × R
    4.6209999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.403909999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26916311-0.26911690) × R
    4.6209999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.403909999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64163540-0.64168334) × cos(0.26916311) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.963993783706625 × 6371000     		do = 294.428514744485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64163540-0.64168334) × cos(0.26911690) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96400607106115 × 6371000     		du = 294.432267618833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26916311)-sin(0.26911690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963993783706625-0.96400607106115)×R²
    abs(0.64168334-0.64163540)×1.22873545240765e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.22873545240765e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.22873545240765e-05×40589641000000     		ar = 86681.4584020718m²