Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7892 / 9679
↖ ↑ ↗
← S 31.034108°
W  6.591797°		 ← 2 093.55 m → S 31.034108°
W  6.569824°		 →
↑
2 093.32 m
↓
↑
2 093.32 m
↓
S 31.052934°
W  6.591797°		 ← 2 093.13 m →
4 382 034 m²		 S 31.052934°
W  6.569824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481719970703125 y=0.590789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481719970703125 × 214)
    floor (0.481719970703125 × 16384)
    floor (7892.5)     		tx = 7892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590789794921875 × 214)
    floor (0.590789794921875 × 16384)
    floor (9679.5)     		ty = 9679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7892 / 9679 ti = "14/7892/9679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7892/9679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7892 ÷ 214
    7892 ÷ 16384     		x = 0.481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9679 ÷ 214
    9679 ÷ 16384     		y = 0.59075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.03662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11504856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.1815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.570257357880188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11504856} λ = -0.11504856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570257357880188))-π/2
    2×atan(0.56537991499808)-π/2
    2×0.514574477884824-π/2
    1.02914895576965-1.57079632675     		φ = -0.54164737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11504856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.591797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54164737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.034108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7892 KachelY 9679 -0.11504856 -0.54164737 -6.591797 -31.034108
    Oben rechts KachelX + 1 7893 KachelY 9679 -0.11466506 -0.54164737 -6.569824 -31.034108
    Unten links KachelX 7892 KachelY + 1 9680 -0.11504856 -0.54197594 -6.591797 -31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 7893 KachelY + 1 9680 -0.11466506 -0.54197594 -6.569824 -31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54164737--0.54197594) × R
    0.000328570000000084 × 6371000     		dl = 2093.31947000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54164737--0.54197594) × R
    0.000328570000000084 × 6371000     		dr = 2093.31947000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11504856--0.11466506) × cos(-0.54164737) × R
    0.000383499999999995 × 0.856860545701725 × 6371000     		do = 2093.54894881126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11504856--0.11466506) × cos(-0.54197594) × R
    0.000383499999999995 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 2093.13495984806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54164737)-sin(-0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856860545701725-0.856691105761415)×R²
    abs(-0.11466506--0.11504856)×0.000169439940310379×R²
    0.000383499999999995×0.000169439940310379×6371000²
    0.000383499999999995×0.000169439940310379×40589641000000     		ar = 4382033.50978929m²