Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78919 / 83827
↖ ↑ ↗
← S 44.814967°
E 36.757507°		 ← 216.62 m → S 44.814967°
E 36.760254°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 44.816916°
E 36.757507°		 ← 216.61 m →
46 936 m²		 S 44.816916°
E 36.760254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602108001708984 y=0.639553070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602108001708984 × 217)
    floor (0.602108001708984 × 131072)
    floor (78919.5)     		tx = 78919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639553070068359 × 217)
    floor (0.639553070068359 × 131072)
    floor (83827.5)     		ty = 83827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78919 / 83827 ti = "17/78919/83827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78919/83827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78919 ÷ 217
    78919 ÷ 131072     		x = 0.602104187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83827 ÷ 217
    83827 ÷ 131072     		y = 0.639549255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602104187011719 × 2 - 1) × π
    0.204208374023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.64153953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639549255371094 × 2 - 1) × π
    -0.279098510742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.876813830950447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64153953} λ = 0.64153953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876813830950447))-π/2
    2×atan(0.416106587765156)-π/2
    2×0.394313797830134-π/2
    0.788627595660269-1.57079632675     		φ = -0.78216873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64153953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.757507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78216873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.814967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78919 KachelY 83827 0.64153953 -0.78216873 36.757507 -44.814967
    Oben rechts KachelX + 1 78920 KachelY 83827 0.64158746 -0.78216873 36.760254 -44.814967
    Unten links KachelX 78919 KachelY + 1 83828 0.64153953 -0.78220274 36.757507 -44.816916
    Unten rechts KachelX + 1 78920 KachelY + 1 83828 0.64158746 -0.78220274 36.760254 -44.816916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78216873--0.78220274) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78216873--0.78220274) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64153953-0.64158746) × cos(-0.78216873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709386644182003 × 6371000     		do = 216.619745722437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64153953-0.64158746) × cos(-0.78220274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709362672859063 × 6371000     		du = 216.612425790602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78216873)-sin(-0.78220274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709386644182003-0.709362672859063)×R²
    abs(0.64158746-0.64153953)×2.39713229402971e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39713229402971e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39713229402971e-05×40589641000000     		ar = 46935.8774154355m²