Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78916 / 83828
↖ ↑ ↗
← S 44.816916°
E 36.749268°		 ← 216.61 m → S 44.816916°
E 36.752014°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.818864°
E 36.749268°		 ← 216.61 m →
46 920 m²		 S 44.818864°
E 36.752014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602085113525391 y=0.639560699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602085113525391 × 217)
    floor (0.602085113525391 × 131072)
    floor (78916.5)     		tx = 78916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639560699462891 × 217)
    floor (0.639560699462891 × 131072)
    floor (83828.5)     		ty = 83828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78916 / 83828 ti = "17/78916/83828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78916/83828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78916 ÷ 217
    78916 ÷ 131072     		x = 0.602081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83828 ÷ 217
    83828 ÷ 131072     		y = 0.639556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602081298828125 × 2 - 1) × π
    0.20416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64139572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.27911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.876861767850067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64139572} λ = 0.64139572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876861767850067))-π/2
    2×atan(0.416086641383514)-π/2
    2×0.394296795219214-π/2
    0.788593590438427-1.57079632675     		φ = -0.78220274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64139572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.749268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78220274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.816916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78916 KachelY 83828 0.64139572 -0.78220274 36.749268 -44.816916
    Oben rechts KachelX + 1 78917 KachelY 83828 0.64144365 -0.78220274 36.752014 -44.816916
    Unten links KachelX 78916 KachelY + 1 83829 0.64139572 -0.78223674 36.749268 -44.818864
    Unten rechts KachelX + 1 78917 KachelY + 1 83829 0.64144365 -0.78223674 36.752014 -44.818864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78220274--0.78223674) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78220274--0.78223674) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64139572-0.64144365) × cos(-0.78220274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709362672859063 × 6371000     		do = 216.612425790602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64139572-0.64144365) × cos(-0.78223674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709338707764295 × 6371000     		du = 216.605107760614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78220274)-sin(-0.78223674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709362672859063-0.709338707764295)×R²
    abs(0.64144365-0.64139572)×2.39650947680969e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39650947680969e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39650947680969e-05×40589641000000     		ar = 46920.4914108107m²