Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7891 / 9713
↖ ↑ ↗
← S 31.672084°
W  6.613769°		 ← 2 079.34 m → S 31.672084°
W  6.591797°		 →
↑
2 079.11 m
↓
↑
2 079.11 m
↓
S 31.690782°
W  6.613769°		 ← 2 078.92 m →
4 322 745 m²		 S 31.690782°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481658935546875 y=0.592864990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481658935546875 × 214)
    floor (0.481658935546875 × 16384)
    floor (7891.5)     		tx = 7891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592864990234375 × 214)
    floor (0.592864990234375 × 16384)
    floor (9713.5)     		ty = 9713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7891 / 9713 ti = "14/7891/9713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7891/9713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7891 ÷ 214
    7891 ÷ 16384     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9713 ÷ 214
    9713 ÷ 16384     		y = 0.59283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.583296194576843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583296194576843))-π/2
    2×atan(0.558055870886289)-π/2
    2×0.509007094509357-π/2
    1.01801418901871-1.57079632675     		φ = -0.55278214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55278214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.672084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7891 KachelY 9713 -0.11543205 -0.55278214 -6.613769 -31.672084
    Oben rechts KachelX + 1 7892 KachelY 9713 -0.11504856 -0.55278214 -6.591797 -31.672084
    Unten links KachelX 7891 KachelY + 1 9714 -0.11543205 -0.55310848 -6.613769 -31.690782
    Unten rechts KachelX + 1 7892 KachelY + 1 9714 -0.11504856 -0.55310848 -6.591797 -31.690782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55278214--0.55310848) × R
    0.000326339999999981 × 6371000     		dl = 2079.11213999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55278214--0.55310848) × R
    0.000326339999999981 × 6371000     		dr = 2079.11213999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11504856) × cos(-0.55278214) × R
    0.00038349 × 0.851067035491464 × 6371000     		do = 2079.3395683942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11504856) × cos(-0.55310848) × R
    0.00038349 × 0.850895643059874 × 6371000     		du = 2078.92081987045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55278214)-sin(-0.55310848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851067035491464-0.850895643059874)×R²
    abs(-0.11504856--0.11543205)×0.000171392431590256×R²
    0.00038349×0.000171392431590256×6371000²
    0.00038349×0.000171392431590256×40589641000000     		ar = 4322744.86562489m²