Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7891 / 3433
↖ ↑ ↗
← N 71.684389°
W  6.613769°		 ← 767.78 m → N 71.684389°
W  6.591797°		 →
↑
767.90 m
↓
↑
767.90 m
↓
N 71.677483°
W  6.613769°		 ← 768.06 m →
589 685 m²		 N 71.677483°
W  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481658935546875 y=0.209564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481658935546875 × 214)
    floor (0.481658935546875 × 16384)
    floor (7891.5)     		tx = 7891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209564208984375 × 214)
    floor (0.209564208984375 × 16384)
    floor (3433.5)     		ty = 3433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7891 / 3433 ti = "14/7891/3433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7891/3433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7891 ÷ 214
    7891 ÷ 16384     		x = 0.48162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3433 ÷ 214
    3433 ÷ 16384     		y = 0.20953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.0367431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11543205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20953369140625 × 2 - 1) × π
    0.5809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82505364233478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11543205} λ = -0.11543205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82505364233478))-π/2
    2×atan(6.20312776043627)-π/2
    2×1.41096246893353-π/2
    2.82192493786707-1.57079632675     		φ = 1.25112861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11543205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.613769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25112861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.684389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7891 KachelY 3433 -0.11543205 1.25112861 -6.613769 71.684389
    Oben rechts KachelX + 1 7892 KachelY 3433 -0.11504856 1.25112861 -6.591797 71.684389
    Unten links KachelX 7891 KachelY + 1 3434 -0.11543205 1.25100808 -6.613769 71.677483
    Unten rechts KachelX + 1 7892 KachelY + 1 3434 -0.11504856 1.25100808 -6.591797 71.677483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25112861-1.25100808) × R
    0.000120530000000008 × 6371000     		dl = 767.896630000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25112861-1.25100808) × R
    0.000120530000000008 × 6371000     		dr = 767.896630000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11543205--0.11504856) × cos(1.25112861) × R
    0.00038349 × 0.314251128268822 × 6371000     		do = 767.783004360574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11543205--0.11504856) × cos(1.25100808) × R
    0.00038349 × 0.314365549922952 × 6371000     		du = 768.062561038241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25112861)-sin(1.25100808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314251128268822-0.314365549922952)×R²
    abs(-0.11504856--0.11543205)×0.000114421654129948×R²
    0.00038349×0.000114421654129948×6371000²
    0.00038349×0.000114421654129948×40589641000000     		ar = 589685.317649573m²