Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78909 / 83819
↖ ↑ ↗
← S 44.799378°
E 36.730042°		 ← 216.72 m → S 44.799378°
E 36.732788°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 44.801327°
E 36.730042°		 ← 216.72 m →
46 958 m²		 S 44.801327°
E 36.732788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602031707763672 y=0.639492034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602031707763672 × 217)
    floor (0.602031707763672 × 131072)
    floor (78909.5)     		tx = 78909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639492034912109 × 217)
    floor (0.639492034912109 × 131072)
    floor (83819.5)     		ty = 83819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78909 / 83819 ti = "17/78909/83819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78909/83819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78909 ÷ 217
    78909 ÷ 131072     		x = 0.602027893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83819 ÷ 217
    83819 ÷ 131072     		y = 0.639488220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602027893066406 × 2 - 1) × π
    0.204055786132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.64106016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639488220214844 × 2 - 1) × π
    -0.278976440429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.876430335753487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64106016} λ = 0.64106016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876430335753487))-π/2
    2×atan(0.416266193244998)-π/2
    2×0.394449839398562-π/2
    0.788899678797124-1.57079632675     		φ = -0.78189665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64106016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.730042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78189665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.799378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78909 KachelY 83819 0.64106016 -0.78189665 36.730042 -44.799378
    Oben rechts KachelX + 1 78910 KachelY 83819 0.64110810 -0.78189665 36.732788 -44.799378
    Unten links KachelX 78909 KachelY + 1 83820 0.64106016 -0.78193066 36.730042 -44.801327
    Unten rechts KachelX + 1 78910 KachelY + 1 83820 0.64110810 -0.78193066 36.732788 -44.801327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78189665--0.78193066) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78189665--0.78193066) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64106016-0.64110810) × cos(-0.78189665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709578385223994 × 6371000     		do = 216.723503394901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64106016-0.64110810) × cos(-0.78193066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709554420466097 × 6371000     		du = 216.716183940987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78189665)-sin(-0.78193066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709578385223994-0.709554420466097)×R²
    abs(0.64110810-0.64106016)×2.39647578967883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39647578967883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39647578967883e-05×40589641000000     		ar = 46958.3594420251m²