Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78908 / 83818
↖ ↑ ↗
← S 44.797429°
E 36.727295°		 ← 216.73 m → S 44.797429°
E 36.730042°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
S 44.799378°
E 36.727295°		 ← 216.72 m →
46 974 m²		 S 44.799378°
E 36.730042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602024078369141 y=0.639484405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602024078369141 × 217)
    floor (0.602024078369141 × 131072)
    floor (78908.5)     		tx = 78908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639484405517578 × 217)
    floor (0.639484405517578 × 131072)
    floor (83818.5)     		ty = 83818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78908 / 83818 ti = "17/78908/83818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78908/83818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78908 ÷ 217
    78908 ÷ 131072     		x = 0.602020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83818 ÷ 217
    83818 ÷ 131072     		y = 0.639480590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602020263671875 × 2 - 1) × π
    0.20404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64101222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639480590820312 × 2 - 1) × π
    -0.278961181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.876382398853867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64101222} λ = 0.64101222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876382398853867))-π/2
    2×atan(0.416286148234006)-π/2
    2×0.394466847179745-π/2
    0.788933694359489-1.57079632675     		φ = -0.78186263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64101222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.727295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78186263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.797429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78908 KachelY 83818 0.64101222 -0.78186263 36.727295 -44.797429
    Oben rechts KachelX + 1 78909 KachelY 83818 0.64106016 -0.78186263 36.730042 -44.797429
    Unten links KachelX 78908 KachelY + 1 83819 0.64101222 -0.78189665 36.727295 -44.799378
    Unten rechts KachelX + 1 78909 KachelY + 1 83819 0.64106016 -0.78189665 36.730042 -44.799378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78186263--0.78189665) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78186263--0.78189665) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64101222-0.64106016) × cos(-0.78186263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709602356207159 × 6371000     		do = 216.730824750173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64101222-0.64106016) × cos(-0.78189665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709578385223994 × 6371000     		du = 216.723503394901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78186263)-sin(-0.78189665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709602356207159-0.709578385223994)×R²
    abs(0.64106016-0.64101222)×2.39709831652002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39709831652002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39709831652002e-05×40589641000000     		ar = 46973.753298254m²