Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78908 / 83813
↖ ↑ ↗
← S 44.787683°
E 36.727295°		 ← 216.77 m → S 44.787683°
E 36.730042°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
S 44.789633°
E 36.727295°		 ← 216.76 m →
46 982 m²		 S 44.789633°
E 36.730042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602024078369141 y=0.639446258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602024078369141 × 217)
    floor (0.602024078369141 × 131072)
    floor (78908.5)     		tx = 78908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639446258544922 × 217)
    floor (0.639446258544922 × 131072)
    floor (83813.5)     		ty = 83813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78908 / 83813 ti = "17/78908/83813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78908/83813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78908 ÷ 217
    78908 ÷ 131072     		x = 0.602020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83813 ÷ 217
    83813 ÷ 131072     		y = 0.639442443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602020263671875 × 2 - 1) × π
    0.20404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64101222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639442443847656 × 2 - 1) × π
    -0.278884887695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.876142714355766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64101222} λ = 0.64101222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876142714355766))-π/2
    2×atan(0.416385937529007)-π/2
    2×0.394551894702735-π/2
    0.78910378940547-1.57079632675     		φ = -0.78169254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64101222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.727295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78169254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.787683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78908 KachelY 83813 0.64101222 -0.78169254 36.727295 -44.787683
    Oben rechts KachelX + 1 78909 KachelY 83813 0.64106016 -0.78169254 36.730042 -44.787683
    Unten links KachelX 78908 KachelY + 1 83814 0.64101222 -0.78172656 36.727295 -44.789633
    Unten rechts KachelX + 1 78909 KachelY + 1 83814 0.64106016 -0.78172656 36.730042 -44.789633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78169254--0.78172656) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78169254--0.78172656) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64101222-0.64106016) × cos(-0.78169254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709722191758629 × 6371000     		do = 216.767425612159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64101222-0.64106016) × cos(-0.78172656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709698224881828 × 6371000     		du = 216.760105511077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78169254)-sin(-0.78172656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709722191758629-0.709698224881828)×R²
    abs(0.64106016-0.64101222)×2.39668768008405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39668768008405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39668768008405e-05×40589641000000     		ar = 46981.6863569161m²