Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78907 / 83816
↖ ↑ ↗
← S 44.793531°
E 36.724548°		 ← 216.75 m → S 44.793531°
E 36.727295°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
S 44.795480°
E 36.724548°		 ← 216.74 m →
46 977 m²		 S 44.795480°
E 36.727295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602016448974609 y=0.639469146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602016448974609 × 217)
    floor (0.602016448974609 × 131072)
    floor (78907.5)     		tx = 78907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639469146728516 × 217)
    floor (0.639469146728516 × 131072)
    floor (83816.5)     		ty = 83816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78907 / 83816 ti = "17/78907/83816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78907/83816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78907 ÷ 217
    78907 ÷ 131072     		x = 0.602012634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83816 ÷ 217
    83816 ÷ 131072     		y = 0.63946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602012634277344 × 2 - 1) × π
    0.204025268554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.64096428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.2789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.876286525054626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64096428} λ = 0.64096428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876286525054626))-π/2
    2×atan(0.416326061081875)-π/2
    2×0.394500864465526-π/2
    0.789001728931052-1.57079632675     		φ = -0.78179460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64096428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.724548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78179460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.793531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78907 KachelY 83816 0.64096428 -0.78179460 36.724548 -44.793531
    Oben rechts KachelX + 1 78908 KachelY 83816 0.64101222 -0.78179460 36.727295 -44.793531
    Unten links KachelX 78907 KachelY + 1 83817 0.64096428 -0.78182862 36.724548 -44.795480
    Unten rechts KachelX + 1 78908 KachelY + 1 83817 0.64101222 -0.78182862 36.727295 -44.795480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78179460--0.78182862) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78179460--0.78182862) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64096428-0.64101222) × cos(-0.78179460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709650288664124 × 6371000     		do = 216.745464556312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64096428-0.64101222) × cos(-0.78182862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709626319323277 × 6371000     		du = 216.738143702646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78179460)-sin(-0.78182862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709650288664124-0.709626319323277)×R²
    abs(0.64101222-0.64096428)×2.39693408474739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39693408474739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39693408474739e-05×40589641000000     		ar = 46976.9264048009m²