Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78906 / 83817
↖ ↑ ↗
← S 44.795480°
E 36.721802°		 ← 216.69 m → S 44.795480°
E 36.724548°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 44.797429°
E 36.721802°		 ← 216.69 m →
46 952 m²		 S 44.797429°
E 36.724548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.602008819580078 y=0.639476776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.602008819580078 × 217)
    floor (0.602008819580078 × 131072)
    floor (78906.5)     		tx = 78906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639476776123047 × 217)
    floor (0.639476776123047 × 131072)
    floor (83817.5)     		ty = 83817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78906 / 83817 ti = "17/78906/83817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78906/83817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78906 ÷ 217
    78906 ÷ 131072     		x = 0.602005004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83817 ÷ 217
    83817 ÷ 131072     		y = 0.639472961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.602005004882812 × 2 - 1) × π
    0.204010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.64091635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639472961425781 × 2 - 1) × π
    -0.278945922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.876334461954247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64091635} λ = 0.64091635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876334461954247))-π/2
    2×atan(0.416306104179616)-π/2
    2×0.394483855535399-π/2
    0.788967711070799-1.57079632675     		φ = -0.78182862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64091635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.721802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78182862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.795480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78906 KachelY 83817 0.64091635 -0.78182862 36.721802 -44.795480
    Oben rechts KachelX + 1 78907 KachelY 83817 0.64096428 -0.78182862 36.724548 -44.795480
    Unten links KachelX 78906 KachelY + 1 83818 0.64091635 -0.78186263 36.721802 -44.797429
    Unten rechts KachelX + 1 78907 KachelY + 1 83818 0.64096428 -0.78186263 36.724548 -44.797429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78182862--0.78186263) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78182862--0.78186263) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64091635-0.64096428) × cos(-0.78182862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709626319323277 × 6371000     		do = 216.692933410117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64091635-0.64096428) × cos(-0.78186263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709602356207159 × 6371000     		du = 216.685615984334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78182862)-sin(-0.78186263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709626319323277-0.709602356207159)×R²
    abs(0.64096428-0.64091635)×2.39631161172982e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39631161172982e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39631161172982e-05×40589641000000     		ar = 46951.735827577m²