Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78900 / 83831
↖ ↑ ↗
← S 44.822760°
E 36.705322°		 ← 216.59 m → S 44.822760°
E 36.708069°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.824709°
E 36.705322°		 ← 216.58 m →
46 916 m²		 S 44.824709°
E 36.708069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601963043212891 y=0.639583587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601963043212891 × 217)
    floor (0.601963043212891 × 131072)
    floor (78900.5)     		tx = 78900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639583587646484 × 217)
    floor (0.639583587646484 × 131072)
    floor (83831.5)     		ty = 83831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78900 / 83831 ti = "17/78900/83831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78900/83831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78900 ÷ 217
    78900 ÷ 131072     		x = 0.601959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83831 ÷ 217
    83831 ÷ 131072     		y = 0.639579772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601959228515625 × 2 - 1) × π
    0.20391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64062873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639579772949219 × 2 - 1) × π
    -0.279159545898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.877005578548927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64062873} λ = 0.64062873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877005578548927))-π/2
    2×atan(0.416026807975276)-π/2
    2×0.394245790833302-π/2
    0.788491581666605-1.57079632675     		φ = -0.78230475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64062873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.705322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78230475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.822760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78900 KachelY 83831 0.64062873 -0.78230475 36.705322 -44.822760
    Oben rechts KachelX + 1 78901 KachelY 83831 0.64067666 -0.78230475 36.708069 -44.822760
    Unten links KachelX 78900 KachelY + 1 83832 0.64062873 -0.78233875 36.705322 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 78901 KachelY + 1 83832 0.64067666 -0.78233875 36.708069 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78230475--0.78233875) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78230475--0.78233875) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64062873-0.64067666) × cos(-0.78230475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70929076806564 × 6371000     		do = 216.590468796915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64062873-0.64067666) × cos(-0.78233875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 216.583150015693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78230475)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70929076806564-0.709266800510727)×R²
    abs(0.64067666-0.64062873)×2.39675549127405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39675549127405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39675549127405e-05×40589641000000     		ar = 46915.7351372082m²