Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7890 / 9640
↖ ↑ ↗
← S 30.297018°
W  6.635742°		 ← 2 109.58 m → S 30.297018°
W  6.613769°		 →
↑
2 109.31 m
↓
↑
2 109.31 m
↓
S 30.315988°
W  6.635742°		 ← 2 109.17 m →
4 449 329 m²		 S 30.315988°
W  6.613769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481597900390625 y=0.588409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481597900390625 × 214)
    floor (0.481597900390625 × 16384)
    floor (7890.5)     		tx = 7890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588409423828125 × 214)
    floor (0.588409423828125 × 16384)
    floor (9640.5)     		ty = 9640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7890 / 9640 ti = "14/7890/9640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7890/9640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7890 ÷ 214
    7890 ÷ 16384     		x = 0.4815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9640 ÷ 214
    9640 ÷ 16384     		y = 0.58837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11581555} λ = -0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55530104519873))-π/2
    2×atan(0.573899465509439)-π/2
    2×0.521006805604077-π/2
    1.04201361120815-1.57079632675     		φ = -0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7890 KachelY 9640 -0.11581555 -0.52878272 -6.635742 -30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 7891 KachelY 9640 -0.11543205 -0.52878272 -6.613769 -30.297018
    Unten links KachelX 7890 KachelY + 1 9641 -0.11581555 -0.52911380 -6.635742 -30.315988
    Unten rechts KachelX + 1 7891 KachelY + 1 9641 -0.11543205 -0.52911380 -6.613769 -30.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52878272--0.52911380) × R
    0.000331079999999928 × 6371000     		dl = 2109.31067999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52878272--0.52911380) × R
    0.000331079999999928 × 6371000     		dr = 2109.31067999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11581555--0.11543205) × cos(-0.52878272) × R
    0.000383500000000009 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 2109.57993685706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11581555--0.11543205) × cos(-0.52911380) × R
    0.000383500000000009 × 0.863254735300163 × 6371000     		du = 2109.17173478213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52878272)-sin(-0.52911380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.863254735300163)×R²
    abs(-0.11543205--0.11581555)×0.000167071447210176×R²
    0.000383500000000009×0.000167071447210176×6371000²
    0.000383500000000009×0.000167071447210176×40589641000000     		ar = 4449329.01927015m²