Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78894 / 83182
↖ ↑ ↗
← S 43.544567°
E 36.688843°		 ← 221.34 m → S 43.544567°
E 36.691589°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
S 43.546557°
E 36.688843°		 ← 221.33 m →
48 988 m²		 S 43.546557°
E 36.691589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601917266845703 y=0.634632110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601917266845703 × 217)
    floor (0.601917266845703 × 131072)
    floor (78894.5)     		tx = 78894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634632110595703 × 217)
    floor (0.634632110595703 × 131072)
    floor (83182.5)     		ty = 83182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78894 / 83182 ti = "17/78894/83182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78894/83182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78894 ÷ 217
    78894 ÷ 131072     		x = 0.601913452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83182 ÷ 217
    83182 ÷ 131072     		y = 0.634628295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601913452148438 × 2 - 1) × π
    0.203826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64034111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634628295898438 × 2 - 1) × π
    -0.269256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.845894530695511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64034111} λ = 0.64034111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845894530695511))-π/2
    2×atan(0.429173277779816)-π/2
    2×0.405400134280688-π/2
    0.810800268561376-1.57079632675     		φ = -0.75999606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64034111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.688843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75999606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.544567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78894 KachelY 83182 0.64034111 -0.75999606 36.688843 -43.544567
    Oben rechts KachelX + 1 78895 KachelY 83182 0.64038904 -0.75999606 36.691589 -43.544567
    Unten links KachelX 78894 KachelY + 1 83183 0.64034111 -0.76003080 36.688843 -43.546557
    Unten rechts KachelX + 1 78895 KachelY + 1 83183 0.64038904 -0.76003080 36.691589 -43.546557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75999606--0.76003080) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75999606--0.76003080) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64034111-0.64038904) × cos(-0.75999606) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.724838725085773 × 6371000     		do = 221.338224514426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64034111-0.64038904) × cos(-0.76003080) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.724814791616595 × 6371000     		du = 221.330916141693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75999606)-sin(-0.76003080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724838725085773-0.724814791616595)×R²
    abs(0.64038904-0.64034111)×2.39334691779503e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39334691779503e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39334691779503e-05×40589641000000     		ar = 48987.6573070937m²