Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78892 / 83164
↖ ↑ ↗
← S 43.508721°
E 36.683350°		 ← 221.52 m → S 43.508721°
E 36.686096°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.510713°
E 36.683350°		 ← 221.51 m →
49 069 m²		 S 43.510713°
E 36.686096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601902008056641 y=0.634494781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601902008056641 × 217)
    floor (0.601902008056641 × 131072)
    floor (78892.5)     		tx = 78892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634494781494141 × 217)
    floor (0.634494781494141 × 131072)
    floor (83164.5)     		ty = 83164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78892 / 83164 ti = "17/78892/83164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78892/83164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78892 ÷ 217
    78892 ÷ 131072     		x = 0.601898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83164 ÷ 217
    83164 ÷ 131072     		y = 0.634490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601898193359375 × 2 - 1) × π
    0.20379638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64024523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.26898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.84503166650235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64024523} λ = 0.64024523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84503166650235))-π/2
    2×atan(0.429543755847017)-π/2
    2×0.405712945916823-π/2
    0.811425891833647-1.57079632675     		φ = -0.75937043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64024523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.683350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75937043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.508721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78892 KachelY 83164 0.64024523 -0.75937043 36.683350 -43.508721
    Oben rechts KachelX + 1 78893 KachelY 83164 0.64029317 -0.75937043 36.686096 -43.508721
    Unten links KachelX 78892 KachelY + 1 83165 0.64024523 -0.75940520 36.683350 -43.510713
    Unten rechts KachelX + 1 78893 KachelY + 1 83165 0.64029317 -0.75940520 36.686096 -43.510713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75937043--0.75940520) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75937043--0.75940520) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64024523-0.64029317) × cos(-0.75937043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725269591339041 × 6371000     		do = 221.516001634079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64024523-0.64029317) × cos(-0.75940520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725245652973505 × 6371000     		du = 221.508690241071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75937043)-sin(-0.75940520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725269591339041-0.725245652973505)×R²
    abs(0.64029317-0.64024523)×2.39383655357139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39383655357139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39383655357139e-05×40589641000000     		ar = 49069.3417779489m²