Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7889 / 9636
↖ ↑ ↗
← S 30.221102°
W  6.657715°		 ← 2 111.16 m → S 30.221102°
W  6.635742°		 →
↑
2 110.97 m
↓
↑
2 110.97 m
↓
S 30.240086°
W  6.657715°		 ← 2 110.75 m →
4 456 151 m²		 S 30.240086°
W  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481536865234375 y=0.588165283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481536865234375 × 214)
    floor (0.481536865234375 × 16384)
    floor (7889.5)     		tx = 7889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588165283203125 × 214)
    floor (0.588165283203125 × 16384)
    floor (9636.5)     		ty = 9636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7889 / 9636 ti = "14/7889/9636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7889/9636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7889 ÷ 214
    7889 ÷ 16384     		x = 0.48150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9636 ÷ 214
    9636 ÷ 16384     		y = 0.588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11619904} λ = -0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553767064410889))-π/2
    2×atan(0.574780491829646)-π/2
    2×0.521669297951068-π/2
    1.04333859590214-1.57079632675     		φ = -0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7889 KachelY 9636 -0.11619904 -0.52745773 -6.657715 -30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 7890 KachelY 9636 -0.11581555 -0.52745773 -6.635742 -30.221102
    Unten links KachelX 7889 KachelY + 1 9637 -0.11619904 -0.52778907 -6.657715 -30.240086
    Unten rechts KachelX + 1 7890 KachelY + 1 9637 -0.11581555 -0.52778907 -6.635742 -30.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52745773--0.52778907) × R
    0.000331340000000013 × 6371000     		dl = 2110.96714000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52745773--0.52778907) × R
    0.000331340000000013 × 6371000     		dr = 2110.96714000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11619904--0.11581555) × cos(-0.52745773) × R
    0.00038349 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 2111.15620513791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11619904--0.11581555) × cos(-0.52778907) × R
    0.00038349 × 0.863922659643392 × 6371000     		du = 2110.74861945687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52745773)-sin(-0.52778907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.863922659643392)×R²
    abs(-0.11581555--0.11619904)×0.000166823515765802×R²
    0.00038349×0.000166823515765802×6371000²
    0.00038349×0.000166823515765802×40589641000000     		ar = 4456151.21723294m²