Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7889 / 3775
↖ ↑ ↗
← N 69.170373°
W  6.657715°		 ← 868.78 m → N 69.170373°
W  6.635742°		 →
↑
869 m
↓
↑
869 m
↓
N 69.162558°
W  6.657715°		 ← 869.09 m →
755 112 m²		 N 69.162558°
W  6.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481536865234375 y=0.230438232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481536865234375 × 214)
    floor (0.481536865234375 × 16384)
    floor (7889.5)     		tx = 7889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230438232421875 × 214)
    floor (0.230438232421875 × 16384)
    floor (3775.5)     		ty = 3775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7889 / 3775 ti = "14/7889/3775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7889/3775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7889 ÷ 214
    7889 ÷ 16384     		x = 0.48150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3775 ÷ 214
    3775 ÷ 16384     		y = 0.23040771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.0369873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11619904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    0.5391845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6938982849743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11619904} λ = -0.11619904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6938982849743))-π/2
    2×atan(5.44064861780377)-π/2
    2×1.3890235364964-π/2
    2.7780470729928-1.57079632675     		φ = 1.20725075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11619904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.657715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20725075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.170373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7889 KachelY 3775 -0.11619904 1.20725075 -6.657715 69.170373
    Oben rechts KachelX + 1 7890 KachelY 3775 -0.11581555 1.20725075 -6.635742 69.170373
    Unten links KachelX 7889 KachelY + 1 3776 -0.11619904 1.20711435 -6.657715 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 7890 KachelY + 1 3776 -0.11581555 1.20711435 -6.635742 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20725075-1.20711435) × R
    0.000136400000000148 × 6371000     		dl = 869.00440000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20725075-1.20711435) × R
    0.000136400000000148 × 6371000     		dr = 869.00440000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11619904--0.11581555) × cos(1.20725075) × R
    0.00038349 × 0.355590306145506 × 6371000     		do = 868.783495155329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11619904--0.11581555) × cos(1.20711435) × R
    0.00038349 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 869.094960698553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20725075)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355590306145506-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.11581555--0.11619904)×0.000127481850756117×R²
    0.00038349×0.000127481850756117×6371000²
    0.00038349×0.000127481850756117×40589641000000     		ar = 755112.013573923m²