Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78883 / 83823
↖ ↑ ↗
← S 44.807173°
E 36.658630°		 ← 216.69 m → S 44.807173°
E 36.661377°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 44.809122°
E 36.658630°		 ← 216.69 m →
46 952 m²		 S 44.809122°
E 36.661377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601833343505859 y=0.639522552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601833343505859 × 217)
    floor (0.601833343505859 × 131072)
    floor (78883.5)     		tx = 78883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639522552490234 × 217)
    floor (0.639522552490234 × 131072)
    floor (83823.5)     		ty = 83823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78883 / 83823 ti = "17/78883/83823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78883/83823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78883 ÷ 217
    78883 ÷ 131072     		x = 0.601829528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83823 ÷ 217
    83823 ÷ 131072     		y = 0.639518737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601829528808594 × 2 - 1) × π
    0.203659057617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.63981380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639518737792969 × 2 - 1) × π
    -0.279037475585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.876622083351967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63981380} λ = 0.63981380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876622083351967))-π/2
    2×atan(0.416186382854085)-π/2
    2×0.39438181401856-π/2
    0.788763628037119-1.57079632675     		φ = -0.78203270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63981380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.658630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78203270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.807173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78883 KachelY 83823 0.63981380 -0.78203270 36.658630 -44.807173
    Oben rechts KachelX + 1 78884 KachelY 83823 0.63986174 -0.78203270 36.661377 -44.807173
    Unten links KachelX 78883 KachelY + 1 83824 0.63981380 -0.78206671 36.658630 -44.809122
    Unten rechts KachelX + 1 78884 KachelY + 1 83824 0.63986174 -0.78206671 36.661377 -44.809122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78203270--0.78206671) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78203270--0.78206671) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63981380-0.63986174) × cos(-0.78203270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709482514220923 × 6371000     		do = 216.694221922844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63981380-0.63986174) × cos(-0.78206671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709458546180041 × 6371000     		du = 216.686901466221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78203270)-sin(-0.78206671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709482514220923-0.709458546180041)×R²
    abs(0.63986174-0.63981380)×2.39680408816723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39680408816723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39680408816723e-05×40589641000000     		ar = 46952.0146912701m²