Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7888 / 8687
↖ ↑ ↗
← N 78.648401°
W136.669922°		 ← 120.23 m → N 78.648401°
W136.664429°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
N 78.647320°
W136.669922°		 ← 120.24 m →
14 455 m²		 N 78.647320°
W136.664429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120368957519531 y=0.132560729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120368957519531 × 216)
    floor (0.120368957519531 × 65536)
    floor (7888.5)     		tx = 7888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132560729980469 × 216)
    floor (0.132560729980469 × 65536)
    floor (8687.5)     		ty = 8687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7888 / 8687 ti = "16/7888/8687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7888/8687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7888 ÷ 216
    7888 ÷ 65536     		x = 0.120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8687 ÷ 216
    8687 ÷ 65536     		y = 0.132553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.75927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38534013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132553100585938 × 2 - 1) × π
    0.734893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.30873695950114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38534013} λ = -2.38534013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30873695950114))-π/2
    2×atan(10.0617082810098)-π/2
    2×1.47173493709576-π/2
    2.94346987419151-1.57079632675     		φ = 1.37267355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38534013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37267355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.648401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7888 KachelY 8687 -2.38534013 1.37267355 -136.669922 78.648401
    Oben rechts KachelX + 1 7889 KachelY 8687 -2.38524425 1.37267355 -136.664429 78.648401
    Unten links KachelX 7888 KachelY + 1 8688 -2.38534013 1.37265468 -136.669922 78.647320
    Unten rechts KachelX + 1 7889 KachelY + 1 8688 -2.38524425 1.37265468 -136.664429 78.647320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37267355-1.37265468) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dl = 120.220770000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37267355-1.37265468) × R
    1.88700000001152e-05 × 6371000     		dr = 120.220770000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38534013--2.38524425) × cos(1.37267355) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.196829178101183 × 6371000     		do = 120.233394750212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38534013--2.38524425) × cos(1.37265468) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.196847678927376 × 6371000     		du = 120.244696007274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37267355)-sin(1.37265468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196829178101183-0.196847678927376)×R²
    abs(-2.38524425--2.38534013)×1.85008261935349e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.85008261935349e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.85008261935349e-05×40589641000000     		ar = 14455.2306200654m²