Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7888 / 3536
↖ ↑ ↗
← N 70.959697°
W  6.679688°		 ← 797.08 m → N 70.959697°
W  6.657715°		 →
↑
797.20 m
↓
↑
797.20 m
↓
N 70.952528°
W  6.679688°		 ← 797.37 m →
635 549 m²		 N 70.952528°
W  6.657715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481475830078125 y=0.215850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481475830078125 × 214)
    floor (0.481475830078125 × 16384)
    floor (7888.5)     		tx = 7888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215850830078125 × 214)
    floor (0.215850830078125 × 16384)
    floor (3536.5)     		ty = 3536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7888 / 3536 ti = "14/7888/3536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7888/3536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7888 ÷ 214
    7888 ÷ 16384     		x = 0.4814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3536 ÷ 214
    3536 ÷ 16384     		y = 0.2158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4814453125 × 2 - 1) × π
    -0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2158203125 × 2 - 1) × π
    0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11658254} λ = -0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78555363704785))-π/2
    2×atan(5.96288030534707)-π/2
    2×1.40463833927906-π/2
    2.80927667855812-1.57079632675     		φ = 1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7888 KachelY 3536 -0.11658254 1.23848035 -6.679688 70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 7889 KachelY 3536 -0.11619904 1.23848035 -6.657715 70.959697
    Unten links KachelX 7888 KachelY + 1 3537 -0.11658254 1.23835522 -6.679688 70.952528
    Unten rechts KachelX + 1 7889 KachelY + 1 3537 -0.11619904 1.23835522 -6.657715 70.952528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23848035-1.23835522) × R
    0.000125129999999807 × 6371000     		dl = 797.203229998769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23848035-1.23835522) × R
    0.000125129999999807 × 6371000     		dr = 797.203229998769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11658254--0.11619904) × cos(1.23848035) × R
    0.000383499999999995 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 797.078489047036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11658254--0.11619904) × cos(1.23835522) × R
    0.000383499999999995 × 0.326351451008196 × 6371000     		du = 797.367483692117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23848035)-sin(1.23835522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.326351451008196)×R²
    abs(-0.11619904--0.11658254)×0.000118281499665918×R²
    0.000383499999999995×0.000118281499665918×6371000²
    0.000383499999999995×0.000118281499665918×40589641000000     		ar = 635548.740591274m²