Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7887 / 9645
↖ ↑ ↗
← S 30.391830°
W  6.701660°		 ← 2 107.54 m → S 30.391830°
W  6.679688°		 →
↑
2 107.34 m
↓
↑
2 107.34 m
↓
S 30.410782°
W  6.701660°		 ← 2 107.13 m →
4 440 858 m²		 S 30.410782°
W  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481414794921875 y=0.588714599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481414794921875 × 214)
    floor (0.481414794921875 × 16384)
    floor (7887.5)     		tx = 7887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588714599609375 × 214)
    floor (0.588714599609375 × 16384)
    floor (9645.5)     		ty = 9645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7887 / 9645 ti = "14/7887/9645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7887/9645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7887 ÷ 214
    7887 ÷ 16384     		x = 0.48138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9645 ÷ 214
    9645 ÷ 16384     		y = 0.58868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.0372314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11696604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.557218521183533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11696604} λ = -0.11696604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557218521183533))-π/2
    2×atan(0.572800081424768)-π/2
    2×0.520179410938014-π/2
    1.04035882187603-1.57079632675     		φ = -0.53043750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11696604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53043750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.391830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7887 KachelY 9645 -0.11696604 -0.53043750 -6.701660 -30.391830
    Oben rechts KachelX + 1 7888 KachelY 9645 -0.11658254 -0.53043750 -6.679688 -30.391830
    Unten links KachelX 7887 KachelY + 1 9646 -0.11696604 -0.53076827 -6.701660 -30.410782
    Unten rechts KachelX + 1 7888 KachelY + 1 9646 -0.11658254 -0.53076827 -6.679688 -30.410782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53043750--0.53076827) × R
    0.000330770000000036 × 6371000     		dl = 2107.33567000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53043750--0.53076827) × R
    0.000330770000000036 × 6371000     		dr = 2107.33567000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11696604--0.11658254) × cos(-0.53043750) × R
    0.000383499999999995 × 0.862585817111708 × 6371000     		do = 2107.53738135394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11696604--0.11658254) × cos(-0.53076827) × R
    0.000383499999999995 × 0.862418429821831 × 6371000     		du = 2107.12840758741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53043750)-sin(-0.53076827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862585817111708-0.862418429821831)×R²
    abs(-0.11658254--0.11696604)×0.000167387289876975×R²
    0.000383499999999995×0.000167387289876975×6371000²
    0.000383499999999995×0.000167387289876975×40589641000000     		ar = 4440857.81757168m²