Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78866 / 59857
↖ ↑ ↗
← N 15.408671°
E 36.611938°		 ← 294.45 m → N 15.408671°
E 36.614685°		 →
↑
294.40 m
↓
↑
294.40 m
↓
N 15.406024°
E 36.611938°		 ← 294.45 m →
86 687 m²		 N 15.406024°
E 36.614685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601703643798828 y=0.456676483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601703643798828 × 217)
    floor (0.601703643798828 × 131072)
    floor (78866.5)     		tx = 78866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456676483154297 × 217)
    floor (0.456676483154297 × 131072)
    floor (59857.5)     		ty = 59857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78866 / 59857 ti = "17/78866/59857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78866/59857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78866 ÷ 217
    78866 ÷ 131072     		x = 0.601699829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59857 ÷ 217
    59857 ÷ 131072     		y = 0.456672668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601699829101562 × 2 - 1) × π
    0.203399658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63899887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456672668457031 × 2 - 1) × π
    0.0866546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.272233652942299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63899887} λ = 0.63899887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.272233652942299))-π/2
    2×atan(1.31289372695827)-π/2
    2×0.919864189243221-π/2
    1.83972837848644-1.57079632675     		φ = 0.26893205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63899887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.611938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26893205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.408671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78866 KachelY 59857 0.63899887 0.26893205 36.611938 15.408671
    Oben rechts KachelX + 1 78867 KachelY 59857 0.63904681 0.26893205 36.614685 15.408671
    Unten links KachelX 78866 KachelY + 1 59858 0.63899887 0.26888584 36.611938 15.406024
    Unten rechts KachelX + 1 78867 KachelY + 1 59858 0.63904681 0.26888584 36.614685 15.406024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26893205-0.26888584) × R
    4.6209999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.403909999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26893205-0.26888584) × R
    4.6209999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.403909999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63899887-0.63904681) × cos(0.26893205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964055202550964 × 6371000     		do = 294.447273639785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63899887-0.63904681) × cos(0.26888584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964067479612261 × 6371000     		du = 294.451023370317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26893205)-sin(0.26888584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964055202550964-0.964067479612261)×R²
    abs(0.63904681-0.63899887)×1.22770612964729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22770612964729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22770612964729e-05×40589641000000     		ar = 86686.980631375m²