Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78865 / 60240
↖ ↑ ↗
← N 14.392118°
E 36.609192°		 ← 295.78 m → N 14.392118°
E 36.611938°		 →
↑
295.87 m
↓
↑
295.87 m
↓
N 14.389457°
E 36.609192°		 ← 295.78 m →
87 512 m²		 N 14.389457°
E 36.611938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601696014404297 y=0.459598541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601696014404297 × 217)
    floor (0.601696014404297 × 131072)
    floor (78865.5)     		tx = 78865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459598541259766 × 217)
    floor (0.459598541259766 × 131072)
    floor (60240.5)     		ty = 60240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78865 / 60240 ti = "17/78865/60240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78865/60240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78865 ÷ 217
    78865 ÷ 131072     		x = 0.601692199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60240 ÷ 217
    60240 ÷ 131072     		y = 0.4595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601692199707031 × 2 - 1) × π
    0.203384399414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.63895094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63895094} λ = 0.63895094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253873820387817))-π/2
    2×atan(1.28900914733172)-π/2
    2×0.910993086841791-π/2
    1.82198617368358-1.57079632675     		φ = 0.25118985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63895094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.609192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25118985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.392118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78865 KachelY 60240 0.63895094 0.25118985 36.609192 14.392118
    Oben rechts KachelX + 1 78866 KachelY 60240 0.63899887 0.25118985 36.611938 14.392118
    Unten links KachelX 78865 KachelY + 1 60241 0.63895094 0.25114341 36.609192 14.389457
    Unten rechts KachelX + 1 78866 KachelY + 1 60241 0.63899887 0.25114341 36.611938 14.389457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25118985-0.25114341) × R
    4.64399999999809e-05 × 6371000     		dl = 295.869239999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25118985-0.25114341) × R
    4.64399999999809e-05 × 6371000     		dr = 295.869239999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63895094-0.63899887) × cos(0.25118985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968617362313766 × 6371000     		do = 295.778964049558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63895094-0.63899887) × cos(0.25114341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.968628904239827 × 6371000     		du = 295.78248851553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25118985)-sin(0.25114341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968617362313766-0.968628904239827)×R²
    abs(0.63899887-0.63895094)×1.15419260612315e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15419260612315e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15419260612315e-05×40589641000000     		ar = 87512.4187075631m²