Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7883 / 9635
↖ ↑ ↗
← S 30.202113°
W  6.789551°		 ← 2 111.62 m → S 30.202113°
W  6.767578°		 →
↑
2 111.41 m
↓
↑
2 111.41 m
↓
S 30.221102°
W  6.789551°		 ← 2 111.21 m →
4 458 069 m²		 S 30.221102°
W  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481170654296875 y=0.588104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481170654296875 × 214)
    floor (0.481170654296875 × 16384)
    floor (7883.5)     		tx = 7883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588104248046875 × 214)
    floor (0.588104248046875 × 16384)
    floor (9635.5)     		ty = 9635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7883 / 9635 ti = "14/7883/9635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7883/9635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7883 ÷ 214
    7883 ÷ 16384     		x = 0.48114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9635 ÷ 214
    9635 ÷ 16384     		y = 0.58807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1761474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.553383569213928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11850002} λ = -0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553383569213928))-π/2
    2×atan(0.575000959659044)-π/2
    2×0.521835001023351-π/2
    1.0436700020467-1.57079632675     		φ = -0.52712632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52712632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.202113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7883 KachelY 9635 -0.11850002 -0.52712632 -6.789551 -30.202113
    Oben rechts KachelX + 1 7884 KachelY 9635 -0.11811652 -0.52712632 -6.767578 -30.202113
    Unten links KachelX 7883 KachelY + 1 9636 -0.11850002 -0.52745773 -6.789551 -30.221102
    Unten rechts KachelX + 1 7884 KachelY + 1 9636 -0.11811652 -0.52745773 -6.767578 -30.221102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52712632--0.52745773) × R
    0.000331409999999921 × 6371000     		dl = 2111.4131099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52712632--0.52745773) × R
    0.000331409999999921 × 6371000     		dr = 2111.4131099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11850002--0.11811652) × cos(-0.52712632) × R
    0.000383499999999995 × 0.864256247023457 × 6371000     		do = 2111.61870684307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11850002--0.11811652) × cos(-0.52745773) × R
    0.000383499999999995 × 0.864089483159158 × 6371000     		du = 2111.21125627885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52712632)-sin(-0.52745773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864256247023457-0.864089483159158)×R²
    abs(-0.11811652--0.11850002)×0.00016676386429948×R²
    0.000383499999999995×0.00016676386429948×6371000²
    0.000383499999999995×0.00016676386429948×40589641000000     		ar = 4458069.31351947m²