Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78820 / 60378
↖ ↑ ↗
← N 14.024685°
E 36.485595°		 ← 296.32 m → N 14.024685°
E 36.488342°		 →
↑
296.32 m
↓
↑
296.32 m
↓
N 14.022020°
E 36.485595°		 ← 296.32 m →
87 805 m²		 N 14.022020°
E 36.488342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601352691650391 y=0.460651397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601352691650391 × 217)
    floor (0.601352691650391 × 131072)
    floor (78820.5)     		tx = 78820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460651397705078 × 217)
    floor (0.460651397705078 × 131072)
    floor (60378.5)     		ty = 60378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78820 / 60378 ti = "17/78820/60378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78820/60378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78820 ÷ 217
    78820 ÷ 131072     		x = 0.601348876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60378 ÷ 217
    60378 ÷ 131072     		y = 0.460647583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601348876953125 × 2 - 1) × π
    0.20269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.63679377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460647583007812 × 2 - 1) × π
    0.078704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.24725852824025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63679377} λ = 0.63679377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24725852824025))-π/2
    2×atan(1.28051011801676)-π/2
    2×0.907786629949047-π/2
    1.81557325989809-1.57079632675     		φ = 0.24477693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63679377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.485595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24477693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.024685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78820 KachelY 60378 0.63679377 0.24477693 36.485595 14.024685
    Oben rechts KachelX + 1 78821 KachelY 60378 0.63684171 0.24477693 36.488342 14.024685
    Unten links KachelX 78820 KachelY + 1 60379 0.63679377 0.24473042 36.485595 14.022020
    Unten rechts KachelX + 1 78821 KachelY + 1 60379 0.63684171 0.24473042 36.488342 14.022020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24477693-0.24473042) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dl = 296.315209999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24477693-0.24473042) × R
    4.65099999999996e-05 × 6371000     		dr = 296.315209999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63679377-0.63684171) × cos(0.24477693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970191407874432 × 6371000     		do = 296.321428691496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63679377-0.63684171) × cos(0.24473042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970202678054303 × 6371000     		du = 296.324870894523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24477693)-sin(0.24473042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970191407874432-0.970202678054303)×R²
    abs(0.63684171-0.63679377)×1.12701798710146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12701798710146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12701798710146e-05×40589641000000     		ar = 87805.0563745671m²