Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7882 / 9632
↖ ↑ ↗
← S 30.145127°
W  6.811523°		 ← 2 112.79 m → S 30.145127°
W  6.789551°		 →
↑
2 112.62 m
↓
↑
2 112.62 m
↓
S 30.164126°
W  6.811523°		 ← 2 112.38 m →
4 463 090 m²		 S 30.164126°
W  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481109619140625 y=0.587921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481109619140625 × 214)
    floor (0.481109619140625 × 16384)
    floor (7882.5)     		tx = 7882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587921142578125 × 214)
    floor (0.587921142578125 × 16384)
    floor (9632.5)     		ty = 9632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7882 / 9632 ti = "14/7882/9632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7882/9632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7882 ÷ 214
    7882 ÷ 16384     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9632 ÷ 214
    9632 ÷ 16384     		y = 0.587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587890625 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552233083623047))-π/2
    2×atan(0.575662870664402)-π/2
    2×0.522332302013094-π/2
    1.04466460402619-1.57079632675     		φ = -0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7882 KachelY 9632 -0.11888351 -0.52613172 -6.811523 -30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 7883 KachelY 9632 -0.11850002 -0.52613172 -6.789551 -30.145127
    Unten links KachelX 7882 KachelY + 1 9633 -0.11888351 -0.52646332 -6.811523 -30.164126
    Unten rechts KachelX + 1 7883 KachelY + 1 9633 -0.11850002 -0.52646332 -6.789551 -30.164126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52613172--0.52646332) × R
    0.000331599999999987 × 6371000     		dl = 2112.62359999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52613172--0.52646332) × R
    0.000331599999999987 × 6371000     		dr = 2112.62359999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11850002) × cos(-0.52613172) × R
    0.00038349 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 2112.78502718324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11850002) × cos(-0.52646332) × R
    0.00038349 × 0.864589580409435 × 6371000     		du = 2112.37805013623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52613172)-sin(-0.52646332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.864589580409435)×R²
    abs(-0.11850002--0.11888351)×0.00016657440380663×R²
    0.00038349×0.00016657440380663×6371000²
    0.00038349×0.00016657440380663×40589641000000     		ar = 4463089.6563927m²