Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7882 / 9573
↖ ↑ ↗
← S 29.017748°
W  6.811523°		 ← 2 136.52 m → S 29.017748°
W  6.789551°		 →
↑
2 136.39 m
↓
↑
2 136.39 m
↓
S 29.036961°
W  6.811523°		 ← 2 136.12 m →
4 564 003 m²		 S 29.036961°
W  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481109619140625 y=0.584320068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481109619140625 × 214)
    floor (0.481109619140625 × 16384)
    floor (7882.5)     		tx = 7882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584320068359375 × 214)
    floor (0.584320068359375 × 16384)
    floor (9573.5)     		ty = 9573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7882 / 9573 ti = "14/7882/9573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7882/9573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7882 ÷ 214
    7882 ÷ 16384     		x = 0.4810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9573 ÷ 214
    9573 ÷ 16384     		y = 0.58428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11888351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.1685791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.52960686700238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11888351} λ = -0.11888351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52960686700238))-π/2
    2×atan(0.588836415205955)-π/2
    2×0.532170541185659-π/2
    1.06434108237132-1.57079632675     		φ = -0.50645524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11888351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50645524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.017748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7882 KachelY 9573 -0.11888351 -0.50645524 -6.811523 -29.017748
    Oben rechts KachelX + 1 7883 KachelY 9573 -0.11850002 -0.50645524 -6.789551 -29.017748
    Unten links KachelX 7882 KachelY + 1 9574 -0.11888351 -0.50679057 -6.811523 -29.036961
    Unten rechts KachelX + 1 7883 KachelY + 1 9574 -0.11850002 -0.50679057 -6.789551 -29.036961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50645524--0.50679057) × R
    0.000335330000000078 × 6371000     		dl = 2136.3874300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50645524--0.50679057) × R
    0.000335330000000078 × 6371000     		dr = 2136.3874300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11888351--0.11850002) × cos(-0.50645524) × R
    0.00038349 × 0.87446949204665 × 6371000     		do = 2136.51679637216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11888351--0.11850002) × cos(-0.50679057) × R
    0.00038349 × 0.874306780834714 × 6371000     		du = 2136.11925793266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50645524)-sin(-0.50679057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87446949204665-0.874306780834714)×R²
    abs(-0.11850002--0.11888351)×0.000162711211935784×R²
    0.00038349×0.000162711211935784×6371000²
    0.00038349×0.000162711211935784×40589641000000     		ar = 4564003.02245912m²