Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78819 / 60379
↖ ↑ ↗
← N 14.022020°
E 36.482849°		 ← 296.26 m → N 14.022020°
E 36.485595°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.019356°
E 36.482849°		 ← 296.27 m →
87 769 m²		 N 14.019356°
E 36.485595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601345062255859 y=0.460659027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601345062255859 × 217)
    floor (0.601345062255859 × 131072)
    floor (78819.5)     		tx = 78819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460659027099609 × 217)
    floor (0.460659027099609 × 131072)
    floor (60379.5)     		ty = 60379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78819 / 60379 ti = "17/78819/60379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78819/60379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78819 ÷ 217
    78819 ÷ 131072     		x = 0.601341247558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60379 ÷ 217
    60379 ÷ 131072     		y = 0.460655212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.601341247558594 × 2 - 1) × π
    0.202682495117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.63674584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460655212402344 × 2 - 1) × π
    0.0786895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.24721059134063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63674584} λ = 0.63674584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24721059134063))-π/2
    2×atan(1.28044873580302)-π/2
    2×0.907763375829936-π/2
    1.81552675165987-1.57079632675     		φ = 0.24473042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63674584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.482849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24473042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.022020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78819 KachelY 60379 0.63674584 0.24473042 36.482849 14.022020
    Oben rechts KachelX + 1 78820 KachelY 60379 0.63679377 0.24473042 36.485595 14.022020
    Unten links KachelX 78819 KachelY + 1 60380 0.63674584 0.24468392 36.482849 14.019356
    Unten rechts KachelX + 1 78820 KachelY + 1 60380 0.63679377 0.24468392 36.485595 14.019356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24473042-0.24468392) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24473042-0.24468392) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63674584-0.63679377) × cos(0.24473042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970202678054303 × 6371000     		do = 296.26305928228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63674584-0.63679377) × cos(0.24468392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970213943712954 × 6371000     		du = 296.266499386675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24473042)-sin(0.24468392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970202678054303-0.970213943712954)×R²
    abs(0.63679377-0.63674584)×1.12656586511717e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12656586511717e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12656586511717e-05×40589641000000     		ar = 87768.8852908494m²