Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7881 / 9646
↖ ↑ ↗
← S 30.410782°
W  6.833496°		 ← 2 107.13 m → S 30.410782°
W  6.811523°		 →
↑
2 106.89 m
↓
↑
2 106.89 m
↓
S 30.429729°
W  6.833496°		 ← 2 106.72 m →
4 439 056 m²		 S 30.429729°
W  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481048583984375 y=0.588775634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481048583984375 × 214)
    floor (0.481048583984375 × 16384)
    floor (7881.5)     		tx = 7881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588775634765625 × 214)
    floor (0.588775634765625 × 16384)
    floor (9646.5)     		ty = 9646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7881 / 9646 ti = "14/7881/9646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7881/9646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7881 ÷ 214
    7881 ÷ 16384     		x = 0.48101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9646 ÷ 214
    9646 ÷ 16384     		y = 0.5887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48101806640625 × 2 - 1) × π
    -0.0379638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11926701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11926701} λ = -0.11926701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557602016380493))-π/2
    2×atan(0.572580457459782)-π/2
    2×0.520014028226422-π/2
    1.04002805645284-1.57079632675     		φ = -0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11926701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.833496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7881 KachelY 9646 -0.11926701 -0.53076827 -6.833496 -30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 7882 KachelY 9646 -0.11888351 -0.53076827 -6.811523 -30.410782
    Unten links KachelX 7881 KachelY + 1 9647 -0.11926701 -0.53109897 -6.833496 -30.429729
    Unten rechts KachelX + 1 7882 KachelY + 1 9647 -0.11888351 -0.53109897 -6.811523 -30.429729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53076827--0.53109897) × R
    0.000330699999999906 × 6371000     		dl = 2106.8896999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53076827--0.53109897) × R
    0.000330699999999906 × 6371000     		dr = 2106.8896999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11926701--0.11888351) × cos(-0.53076827) × R
    0.000383500000000009 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 2107.12840758749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11926701--0.11888351) × cos(-0.53109897) × R
    0.000383500000000009 × 0.862250983629484 × 6371000     		du = 2106.71928990582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53076827)-sin(-0.53109897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862250983629484)×R²
    abs(-0.11888351--0.11926701)×0.000167446192346876×R²
    0.000383500000000009×0.000167446192346876×6371000²
    0.000383500000000009×0.000167446192346876×40589641000000     		ar = 4439056.19606361m²