Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7881 / 7239
↖ ↑ ↗
← N 70.352012°
W 93.416748°		 ← 410.76 m → N 70.352012°
W 93.405762°		 →
↑
410.80 m
↓
↑
410.80 m
↓
N 70.348317°
W 93.416748°		 ← 410.84 m →
168 758 m²		 N 70.348317°
W 93.405762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240524291992188 y=0.220932006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240524291992188 × 215)
    floor (0.240524291992188 × 32768)
    floor (7881.5)     		tx = 7881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220932006835938 × 215)
    floor (0.220932006835938 × 32768)
    floor (7239.5)     		ty = 7239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7881 / 7239 ti = "15/7881/7239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7881/7239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7881 ÷ 215
    7881 ÷ 32768     		x = 0.240509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7239 ÷ 215
    7239 ÷ 32768     		y = 0.220916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.63042983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220916748046875 × 2 - 1) × π
    0.55816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.75353178810165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63042983} λ = -1.63042983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75353178810165))-π/2
    2×atan(5.77496264565249)-π/2
    2×1.39933528528032-π/2
    2.79867057056063-1.57079632675     		φ = 1.22787424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63042983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.416748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22787424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.352012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7881 KachelY 7239 -1.63042983 1.22787424 -93.416748 70.352012
    Oben rechts KachelX + 1 7882 KachelY 7239 -1.63023808 1.22787424 -93.405762 70.352012
    Unten links KachelX 7881 KachelY + 1 7240 -1.63042983 1.22780976 -93.416748 70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 7882 KachelY + 1 7240 -1.63023808 1.22780976 -93.405762 70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22787424-1.22780976) × R
    6.44800000000334e-05 × 6371000     		dl = 410.802080000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22787424-1.22780976) × R
    6.44800000000334e-05 × 6371000     		dr = 410.802080000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63042983--1.63023808) × cos(1.22787424) × R
    0.000191749999999935 × 0.336240475425448 × 6371000     		do = 410.764562218248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63042983--1.63023808) × cos(1.22780976) × R
    0.000191749999999935 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 410.838746295924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22787424)-sin(1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336240475425448-0.336301200453459)×R²
    abs(-1.63023808--1.63042983)×6.07250280106886e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07250280106886e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07250280106886e-05×40589641000000     		ar = 168758.174095095m²