Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78808 / 83768
↖ ↑ ↗
← S 44.699898°
E 36.452637°		 ← 217.10 m → S 44.699898°
E 36.455383°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 44.701850°
E 36.452637°		 ← 217.09 m →
47 122 m²		 S 44.701850°
E 36.455383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.601261138916016 y=0.639102935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.601261138916016 × 217)
    floor (0.601261138916016 × 131072)
    floor (78808.5)     		tx = 78808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639102935791016 × 217)
    floor (0.639102935791016 × 131072)
    floor (83768.5)     		ty = 83768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78808 / 83768 ti = "17/78808/83768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78808/83768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78808 ÷ 217
    78808 ÷ 131072     		x = 0.60125732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83768 ÷ 217
    83768 ÷ 131072     		y = 0.63909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60125732421875 × 2 - 1) × π
    0.2025146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63621853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873985553872864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63621853} λ = 0.63621853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873985553872864))-π/2
    2×atan(0.417285118309021)-π/2
    2×0.395317968684507-π/2
    0.790635937369013-1.57079632675     		φ = -0.78016039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63621853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.452637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78016039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.699898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78808 KachelY 83768 0.63621853 -0.78016039 36.452637 -44.699898
    Oben rechts KachelX + 1 78809 KachelY 83768 0.63626647 -0.78016039 36.455383 -44.699898
    Unten links KachelX 78808 KachelY + 1 83769 0.63621853 -0.78019446 36.452637 -44.701850
    Unten rechts KachelX + 1 78809 KachelY + 1 83769 0.63626647 -0.78019446 36.455383 -44.701850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78016039--0.78019446) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78016039--0.78019446) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63621853-0.63626647) × cos(-0.78016039) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.710800729882607 × 6371000     		do = 217.096838917296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63621853-0.63626647) × cos(-0.78019446) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.710776764855793 × 6371000     		du = 217.089519381247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78016039)-sin(-0.78019446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710800729882607-0.710776764855793)×R²
    abs(0.63626647-0.63621853)×2.39650268136771e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39650268136771e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39650268136771e-05×40589641000000     		ar = 47122.2389580802m²