Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7880 / 9644
↖ ↑ ↗
← S 30.372875°
W  6.855469°		 ← 2 107.89 m → S 30.372875°
W  6.833496°		 →
↑
2 107.65 m
↓
↑
2 107.65 m
↓
S 30.391830°
W  6.855469°		 ← 2 107.48 m →
4 442 275 m²		 S 30.391830°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480987548828125 y=0.588653564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480987548828125 × 214)
    floor (0.480987548828125 × 16384)
    floor (7880.5)     		tx = 7880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588653564453125 × 214)
    floor (0.588653564453125 × 16384)
    floor (9644.5)     		ty = 9644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7880 / 9644 ti = "14/7880/9644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7880/9644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7880 ÷ 214
    7880 ÷ 16384     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9644 ÷ 214
    9644 ÷ 16384     		y = 0.588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.556835025986572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556835025986572))-π/2
    2×atan(0.573019789630641)-π/2
    2×0.520344825739338-π/2
    1.04068965147868-1.57079632675     		φ = -0.53010668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53010668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.372875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7880 KachelY 9644 -0.11965050 -0.53010668 -6.855469 -30.372875
    Oben rechts KachelX + 1 7881 KachelY 9644 -0.11926701 -0.53010668 -6.833496 -30.372875
    Unten links KachelX 7880 KachelY + 1 9645 -0.11965050 -0.53043750 -6.855469 -30.391830
    Unten rechts KachelX + 1 7881 KachelY + 1 9645 -0.11926701 -0.53043750 -6.833496 -30.391830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53010668--0.53043750) × R
    0.000330819999999954 × 6371000     		dl = 2107.65421999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53010668--0.53043750) × R
    0.000330819999999954 × 6371000     		dr = 2107.65421999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11926701) × cos(-0.53010668) × R
    0.00038349 × 0.862753135308383 × 6371000     		do = 2107.89122030431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11926701) × cos(-0.53043750) × R
    0.00038349 × 0.862585817111708 × 6371000     		du = 2107.48242601156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53010668)-sin(-0.53043750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862753135308383-0.862585817111708)×R²
    abs(-0.11926701--0.11965050)×0.000167318196674926×R²
    0.00038349×0.000167318196674926×6371000²
    0.00038349×0.000167318196674926×40589641000000     		ar = 4442275.06777986m²