Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7879 / 9630
↖ ↑ ↗
← S 30.107118°
W  6.877442°		 ← 2 113.65 m → S 30.107118°
W  6.855469°		 →
↑
2 113.39 m
↓
↑
2 113.39 m
↓
S 30.126124°
W  6.877442°		 ← 2 113.25 m →
4 466 541 m²		 S 30.126124°
W  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480926513671875 y=0.587799072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480926513671875 × 214)
    floor (0.480926513671875 × 16384)
    floor (7879.5)     		tx = 7879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587799072265625 × 214)
    floor (0.587799072265625 × 16384)
    floor (9630.5)     		ty = 9630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7879 / 9630 ti = "14/7879/9630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7879/9630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7879 ÷ 214
    7879 ÷ 16384     		x = 0.48089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9630 ÷ 214
    9630 ÷ 16384     		y = 0.5877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551466093229126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12003400} λ = -0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551466093229126))-π/2
    2×atan(0.576104567923463)-π/2
    2×0.522663995696346-π/2
    1.04532799139269-1.57079632675     		φ = -0.52546834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52546834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.107118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7879 KachelY 9630 -0.12003400 -0.52546834 -6.877442 -30.107118
    Oben rechts KachelX + 1 7880 KachelY 9630 -0.11965050 -0.52546834 -6.855469 -30.107118
    Unten links KachelX 7879 KachelY + 1 9631 -0.12003400 -0.52580006 -6.877442 -30.126124
    Unten rechts KachelX + 1 7880 KachelY + 1 9631 -0.11965050 -0.52580006 -6.855469 -30.126124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52546834--0.52580006) × R
    0.000331720000000035 × 6371000     		dl = 2113.38812000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52546834--0.52580006) × R
    0.000331720000000035 × 6371000     		dr = 2113.38812000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12003400--0.11965050) × cos(-0.52546834) × R
    0.000383499999999995 × 0.86508910863182 × 6371000     		do = 2113.65361970426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12003400--0.11965050) × cos(-0.52580006) × R
    0.000383499999999995 × 0.864922664244018 × 6371000     		du = 2113.2469497101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52546834)-sin(-0.52580006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86508910863182-0.864922664244018)×R²
    abs(-0.11965050--0.12003400)×0.000166444387801445×R²
    0.000383499999999995×0.000166444387801445×6371000²
    0.000383499999999995×0.000166444387801445×40589641000000     		ar = 4466540.76486999m²