Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7878 / 4830
↖ ↑ ↗
← N 77.546835°
W 93.449707°		 ← 263.42 m → N 77.546835°
W 93.438721°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
N 77.544466°
W 93.449707°		 ← 263.47 m →
69 419 m²		 N 77.544466°
W 93.438721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240432739257812 y=0.147415161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240432739257812 × 215)
    floor (0.240432739257812 × 32768)
    floor (7878.5)     		tx = 7878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147415161132812 × 215)
    floor (0.147415161132812 × 32768)
    floor (4830.5)     		ty = 4830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7878 / 4830 ti = "15/7878/4830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7878/4830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7878 ÷ 215
    7878 ÷ 32768     		x = 0.24041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4830 ÷ 215
    4830 ÷ 32768     		y = 0.14739990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.5191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.63100507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14739990234375 × 2 - 1) × π
    0.7052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21545175284052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63100507} λ = -1.63100507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21545175284052))-π/2
    2×atan(9.16554873917195)-π/2
    2×1.46212196157802-π/2
    2.92424392315604-1.57079632675     		φ = 1.35344760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63100507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.449707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35344760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.546835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7878 KachelY 4830 -1.63100507 1.35344760 -93.449707 77.546835
    Oben rechts KachelX + 1 7879 KachelY 4830 -1.63081333 1.35344760 -93.438721 77.546835
    Unten links KachelX 7878 KachelY + 1 4831 -1.63100507 1.35340624 -93.449707 77.544466
    Unten rechts KachelX + 1 7879 KachelY + 1 4831 -1.63081333 1.35340624 -93.438721 77.544466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35344760-1.35340624) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35344760-1.35340624) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63100507--1.63081333) × cos(1.35344760) × R
    0.000191739999999996 × 0.215641488358945 × 6371000     		do = 263.422367588476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63100507--1.63081333) × cos(1.35340624) × R
    0.000191739999999996 × 0.215681875081436 × 6371000     		du = 263.471703020813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35344760)-sin(1.35340624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215641488358945-0.215681875081436)×R²
    abs(-1.63081333--1.63100507)×4.03867224916532e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03867224916532e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03867224916532e-05×40589641000000     		ar = 69419.4951311829m²