Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7878 / 3634
↖ ↑ ↗
← N 70.244603°
W  6.899414°		 ← 825.82 m → N 70.244603°
W  6.877442°		 →
↑
825.94 m
↓
↑
825.94 m
↓
N 70.237176°
W  6.899414°		 ← 826.12 m →
682 198 m²		 N 70.237176°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480865478515625 y=0.221832275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480865478515625 × 214)
    floor (0.480865478515625 × 16384)
    floor (7878.5)     		tx = 7878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221832275390625 × 214)
    floor (0.221832275390625 × 16384)
    floor (3634.5)     		ty = 3634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7878 / 3634 ti = "14/7878/3634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7878/3634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7878 ÷ 214
    7878 ÷ 16384     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3634 ÷ 214
    3634 ÷ 16384     		y = 0.2218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2218017578125 × 2 - 1) × π
    0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74797110774573))-π/2
    2×atan(5.74293904333797)-π/2
    2×1.39839797075709-π/2
    2.79679594151419-1.57079632675     		φ = 1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7878 KachelY 3634 -0.12041749 1.22599961 -6.899414 70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 7879 KachelY 3634 -0.12003400 1.22599961 -6.877442 70.244603
    Unten links KachelX 7878 KachelY + 1 3635 -0.12041749 1.22586997 -6.899414 70.237176
    Unten rechts KachelX + 1 7879 KachelY + 1 3635 -0.12003400 1.22586997 -6.877442 70.237176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22599961-1.22586997) × R
    0.000129639999999931 × 6371000     		dl = 825.93643999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22599961-1.22586997) × R
    0.000129639999999931 × 6371000     		dr = 825.93643999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12003400) × cos(1.22599961) × R
    0.00038349 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 825.819707910672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12003400) × cos(1.22586997) × R
    0.00038349 × 0.338127372518205 × 6371000     		du = 826.117797440319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22599961)-sin(1.22586997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.338127372518205)×R²
    abs(-0.12003400--0.12041749)×0.000122007091176324×R²
    0.00038349×0.000122007091176324×6371000²
    0.00038349×0.000122007091176324×40589641000000     		ar = 682197.692090992m²