Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7877 / 4867
↖ ↑ ↗
← N 58.779591°
W  6.921387°		 ← 1 266.43 m → N 58.779591°
W  6.899414°		 →
↑
1 266.62 m
↓
↑
1 266.62 m
↓
N 58.768200°
W  6.921387°		 ← 1 266.84 m →
1 604 345 m²		 N 58.768200°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480804443359375 y=0.297088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480804443359375 × 214)
    floor (0.480804443359375 × 16384)
    floor (7877.5)     		tx = 7877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297088623046875 × 214)
    floor (0.297088623046875 × 16384)
    floor (4867.5)     		ty = 4867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7877 / 4867 ti = "14/7877/4867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7877/4867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7877 ÷ 214
    7877 ÷ 16384     		x = 0.48077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4867 ÷ 214
    4867 ÷ 16384     		y = 0.29705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29705810546875 × 2 - 1) × π
    0.4058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27512152989349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12080099} λ = -0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27512152989349))-π/2
    2×atan(3.57913635573171)-π/2
    2×1.29834686266244-π/2
    2.59669372532487-1.57079632675     		φ = 1.02589740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02589740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.779591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7877 KachelY 4867 -0.12080099 1.02589740 -6.921387 58.779591
    Oben rechts KachelX + 1 7878 KachelY 4867 -0.12041749 1.02589740 -6.899414 58.779591
    Unten links KachelX 7877 KachelY + 1 4868 -0.12080099 1.02569859 -6.921387 58.768200
    Unten rechts KachelX + 1 7878 KachelY + 1 4868 -0.12041749 1.02569859 -6.899414 58.768200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02589740-1.02569859) × R
    0.000198810000000105 × 6371000     		dl = 1266.61851000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02589740-1.02569859) × R
    0.000198810000000105 × 6371000     		dr = 1266.61851000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12080099--0.12041749) × cos(1.02589740) × R
    0.000383499999999995 × 0.518331657400588 × 6371000     		do = 1266.4285943962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12080099--0.12041749) × cos(1.02569859) × R
    0.000383499999999995 × 0.518501665428924 × 6371000     		du = 1266.84397135667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02589740)-sin(1.02569859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518331657400588-0.518501665428924)×R²
    abs(-0.12041749--0.12080099)×0.000170008028336333×R²
    0.000383499999999995×0.000170008028336333×6371000²
    0.000383499999999995×0.000170008028336333×40589641000000     		ar = 1604344.96661349m²