Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7876 / 9642
↖ ↑ ↗
← S 30.334954°
W  6.943359°		 ← 2 108.71 m → S 30.334954°
W  6.921387°		 →
↑
2 108.55 m
↓
↑
2 108.55 m
↓
S 30.353916°
W  6.943359°		 ← 2 108.30 m →
4 445 878 m²		 S 30.353916°
W  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480743408203125 y=0.588531494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480743408203125 × 214)
    floor (0.480743408203125 × 16384)
    floor (7876.5)     		tx = 7876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588531494140625 × 214)
    floor (0.588531494140625 × 16384)
    floor (9642.5)     		ty = 9642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7876 / 9642 ti = "14/7876/9642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7876/9642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7876 ÷ 214
    7876 ÷ 16384     		x = 0.480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9642 ÷ 214
    9642 ÷ 16384     		y = 0.5885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12118448} λ = -0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556068035592651))-π/2
    2×atan(0.573459458894311)-π/2
    2×0.520675751563639-π/2
    1.04135150312728-1.57079632675     		φ = -0.52944482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52944482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.334954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7876 KachelY 9642 -0.12118448 -0.52944482 -6.943359 -30.334954
    Oben rechts KachelX + 1 7877 KachelY 9642 -0.12080099 -0.52944482 -6.921387 -30.334954
    Unten links KachelX 7876 KachelY + 1 9643 -0.12118448 -0.52977578 -6.943359 -30.353916
    Unten rechts KachelX + 1 7877 KachelY + 1 9643 -0.12080099 -0.52977578 -6.921387 -30.353916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52944482--0.52977578) × R
    0.000330959999999991 × 6371000     		dl = 2108.54615999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52944482--0.52977578) × R
    0.000330959999999991 × 6371000     		dr = 2108.54615999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12118448--0.12080099) × cos(-0.52944482) × R
    0.00038349 × 0.863087599531434 × 6371000     		do = 2108.7083882408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12118448--0.12080099) × cos(-0.52977578) × R
    0.00038349 × 0.862920399510932 × 6371000     		du = 2108.29988267782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52944482)-sin(-0.52977578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863087599531434-0.862920399510932)×R²
    abs(-0.12080099--0.12118448)×0.000167200020501856×R²
    0.00038349×0.000167200020501856×6371000²
    0.00038349×0.000167200020501856×40589641000000     		ar = 4445878.33874958m²