Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7876 / 8268
↖ ↑ ↗
← N 79.092620°
W136.735840°		 ← 115.57 m → N 79.092620°
W136.730347°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 79.091580°
W136.735840°		 ← 115.59 m →
13 365 m²		 N 79.091580°
W136.730347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.120185852050781 y=0.126167297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.120185852050781 × 216)
    floor (0.120185852050781 × 65536)
    floor (7876.5)     		tx = 7876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126167297363281 × 216)
    floor (0.126167297363281 × 65536)
    floor (8268.5)     		ty = 8268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7876 / 8268 ti = "16/7876/8268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7876/8268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7876 ÷ 216
    7876 ÷ 65536     		x = 0.12017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8268 ÷ 216
    8268 ÷ 65536     		y = 0.12615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.7596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.38649061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12615966796875 × 2 - 1) × π
    0.7476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34890808138275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38649061} λ = -2.38649061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34890808138275))-π/2
    2×atan(10.4741265845585)-π/2
    2×1.47561148110707-π/2
    2.95122296221413-1.57079632675     		φ = 1.38042664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38649061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.735840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38042664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.092620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7876 KachelY 8268 -2.38649061 1.38042664 -136.735840 79.092620
    Oben rechts KachelX + 1 7877 KachelY 8268 -2.38639474 1.38042664 -136.730347 79.092620
    Unten links KachelX 7876 KachelY + 1 8269 -2.38649061 1.38040849 -136.735840 79.091580
    Unten rechts KachelX + 1 7877 KachelY + 1 8269 -2.38639474 1.38040849 -136.730347 79.091580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38042664-1.38040849) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38042664-1.38040849) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38649061--2.38639474) × cos(1.38042664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189221916060972 × 6371000     		do = 115.574432146006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38649061--2.38639474) × cos(1.38040849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189239738138246 × 6371000     		du = 115.58531765284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38042664)-sin(1.38040849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189221916060972-0.189239738138246)×R²
    abs(-2.38639474--2.38649061)×1.7822077273244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7822077273244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7822077273244e-05×40589641000000     		ar = 13364.922801775m²