Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78753 / 60063
↖ ↑ ↗
← N 14.862505°
E 36.301575°		 ← 295.21 m → N 14.862505°
E 36.304321°		 →
↑
295.17 m
↓
↑
295.17 m
↓
N 14.859851°
E 36.301575°		 ← 295.21 m →
87 136 m²		 N 14.859851°
E 36.304321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600841522216797 y=0.458248138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600841522216797 × 217)
    floor (0.600841522216797 × 131072)
    floor (78753.5)     		tx = 78753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458248138427734 × 217)
    floor (0.458248138427734 × 131072)
    floor (60063.5)     		ty = 60063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78753 / 60063 ti = "17/78753/60063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78753/60063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78753 ÷ 217
    78753 ÷ 131072     		x = 0.600837707519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60063 ÷ 217
    60063 ÷ 131072     		y = 0.458244323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600837707519531 × 2 - 1) × π
    0.201675415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.63358200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458244323730469 × 2 - 1) × π
    0.0835113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.262358651620567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63358200} λ = 0.63358200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.262358651620567))-π/2
    2×atan(1.29999270331948)-π/2
    2×0.915097988023155-π/2
    1.83019597604631-1.57079632675     		φ = 0.25939965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63358200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.301575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25939965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.862505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78753 KachelY 60063 0.63358200 0.25939965 36.301575 14.862505
    Oben rechts KachelX + 1 78754 KachelY 60063 0.63362994 0.25939965 36.304321 14.862505
    Unten links KachelX 78753 KachelY + 1 60064 0.63358200 0.25935332 36.301575 14.859851
    Unten rechts KachelX + 1 78754 KachelY + 1 60064 0.63362994 0.25935332 36.304321 14.859851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25939965-0.25935332) × R
    4.63299999999833e-05 × 6371000     		dl = 295.168429999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25939965-0.25935332) × R
    4.63299999999833e-05 × 6371000     		dr = 295.168429999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63358200-0.63362994) × cos(0.25939965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966544142281379 × 6371000     		do = 295.207459898762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63358200-0.63362994) × cos(0.25935332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966556024904491 × 6371000     		du = 295.211089157719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25939965)-sin(0.25935332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966544142281379-0.966556024904491)×R²
    abs(0.63362994-0.63358200)×1.18826231125801e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18826231125801e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18826231125801e-05×40589641000000     		ar = 87136.4580995948m²