Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7875 / 9717
↖ ↑ ↗
← S 31.746854°
W  6.965332°		 ← 2 077.72 m → S 31.746854°
W  6.943359°		 →
↑
2 077.52 m
↓
↑
2 077.52 m
↓
S 31.765538°
W  6.965332°		 ← 2 077.30 m →
4 316 064 m²		 S 31.765538°
W  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480682373046875 y=0.593109130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480682373046875 × 214)
    floor (0.480682373046875 × 16384)
    floor (7875.5)     		tx = 7875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593109130859375 × 214)
    floor (0.593109130859375 × 16384)
    floor (9717.5)     		ty = 9717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7875 / 9717 ti = "14/7875/9717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7875/9717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7875 ÷ 214
    7875 ÷ 16384     		x = 0.48065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9717 ÷ 214
    9717 ÷ 16384     		y = 0.59307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12156798} λ = -0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584830175364685))-π/2
    2×atan(0.557200480146023)-π/2
    2×0.508354597257832-π/2
    1.01670919451566-1.57079632675     		φ = -0.55408713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55408713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.746854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7875 KachelY 9717 -0.12156798 -0.55408713 -6.965332 -31.746854
    Oben rechts KachelX + 1 7876 KachelY 9717 -0.12118448 -0.55408713 -6.943359 -31.746854
    Unten links KachelX 7875 KachelY + 1 9718 -0.12156798 -0.55441322 -6.965332 -31.765538
    Unten rechts KachelX + 1 7876 KachelY + 1 9718 -0.12118448 -0.55441322 -6.943359 -31.765538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55408713--0.55441322) × R
    0.000326090000000057 × 6371000     		dl = 2077.51939000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55408713--0.55441322) × R
    0.000326090000000057 × 6371000     		dr = 2077.51939000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12156798--0.12118448) × cos(-0.55408713) × R
    0.000383500000000009 × 0.85038111680904 × 6371000     		do = 2077.71789950557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12156798--0.12118448) × cos(-0.55441322) × R
    0.000383500000000009 × 0.850209493726849 × 6371000     		du = 2077.29857651874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55408713)-sin(-0.55441322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85038111680904-0.850209493726849)×R²
    abs(-0.12118448--0.12156798)×0.000171623082191763×R²
    0.000383500000000009×0.000171623082191763×6371000²
    0.000383500000000009×0.000171623082191763×40589641000000     		ar = 4316063.68560106m²