Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7875 / 4955
↖ ↑ ↗
← N 57.762799°
W  6.965332°		 ← 1 303.31 m → N 57.762799°
W  6.943359°		 →
↑
1 303.51 m
↓
↑
1 303.51 m
↓
N 57.751076°
W  6.965332°		 ← 1 303.73 m →
1 699 145 m²		 N 57.751076°
W  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480682373046875 y=0.302459716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480682373046875 × 214)
    floor (0.480682373046875 × 16384)
    floor (7875.5)     		tx = 7875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302459716796875 × 214)
    floor (0.302459716796875 × 16384)
    floor (4955.5)     		ty = 4955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7875 / 4955 ti = "14/7875/4955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7875/4955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7875 ÷ 214
    7875 ÷ 16384     		x = 0.48065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4955 ÷ 214
    4955 ÷ 16384     		y = 0.30242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.0386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12156798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30242919921875 × 2 - 1) × π
    0.3951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24137395256097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12156798} λ = -0.12156798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24137395256097))-π/2
    2×atan(3.46036457688625)-π/2
    2×1.28947367427489-π/2
    2.57894734854979-1.57079632675     		φ = 1.00815102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12156798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.965332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00815102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.762799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7875 KachelY 4955 -0.12156798 1.00815102 -6.965332 57.762799
    Oben rechts KachelX + 1 7876 KachelY 4955 -0.12118448 1.00815102 -6.943359 57.762799
    Unten links KachelX 7875 KachelY + 1 4956 -0.12156798 1.00794642 -6.965332 57.751076
    Unten rechts KachelX + 1 7876 KachelY + 1 4956 -0.12118448 1.00794642 -6.943359 57.751076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00815102-1.00794642) × R
    0.000204599999999999 × 6371000     		dl = 1303.5066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00815102-1.00794642) × R
    0.000204599999999999 × 6371000     		dr = 1303.5066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12156798--0.12118448) × cos(1.00815102) × R
    0.000383500000000009 × 0.533425586483202 × 6371000     		do = 1303.30726680433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12156798--0.12118448) × cos(1.00794642) × R
    0.000383500000000009 × 0.533598635612837 × 6371000     		du = 1303.73007402221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00815102)-sin(1.00794642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533425586483202-0.533598635612837)×R²
    abs(-0.12118448--0.12156798)×0.000173049129635339×R²
    0.000383500000000009×0.000173049129635339×6371000²
    0.000383500000000009×0.000173049129635339×40589641000000     		ar = 1699145.19603473m²