Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7873 / 9718
↖ ↑ ↗
← S 31.765538°
W  7.009277°		 ← 2 077.30 m → S 31.765538°
W  6.987305°		 →
↑
2 077.01 m
↓
↑
2 077.01 m
↓
S 31.784217°
W  7.009277°		 ← 2 076.88 m →
4 314 134 m²		 S 31.784217°
W  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480560302734375 y=0.593170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480560302734375 × 214)
    floor (0.480560302734375 × 16384)
    floor (7873.5)     		tx = 7873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593170166015625 × 214)
    floor (0.593170166015625 × 16384)
    floor (9718.5)     		ty = 9718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7873 / 9718 ti = "14/7873/9718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7873/9718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7873 ÷ 214
    7873 ÷ 16384     		x = 0.48052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9718 ÷ 214
    9718 ÷ 16384     		y = 0.5931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12233497} λ = -0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585213670561646))-π/2
    2×atan(0.556986837406243)-π/2
    2×0.508191555174093-π/2
    1.01638311034819-1.57079632675     		φ = -0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7873 KachelY 9718 -0.12233497 -0.55441322 -7.009277 -31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 7874 KachelY 9718 -0.12195147 -0.55441322 -6.987305 -31.765538
    Unten links KachelX 7873 KachelY + 1 9719 -0.12233497 -0.55473923 -7.009277 -31.784217
    Unten rechts KachelX + 1 7874 KachelY + 1 9719 -0.12195147 -0.55473923 -6.987305 -31.784217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55441322--0.55473923) × R
    0.000326009999999988 × 6371000     		dl = 2077.00970999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55441322--0.55473923) × R
    0.000326009999999988 × 6371000     		dr = 2077.00970999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12233497--0.12195147) × cos(-0.55441322) × R
    0.000383499999999995 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 2077.29857651867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12233497--0.12195147) × cos(-0.55473923) × R
    0.000383499999999995 × 0.850037822375631 × 6371000     		du = 2076.87913559717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55441322)-sin(-0.55473923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.850037822375631)×R²
    abs(-0.12195147--0.12233497)×0.000171671351217317×R²
    0.000383499999999995×0.000171671351217317×6371000²
    0.000383499999999995×0.000171671351217317×40589641000000     		ar = 4314133.76077532m²