Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7873 / 9716
↖ ↑ ↗
← S 31.728167°
W  7.009277°		 ← 2 078.14 m → S 31.728167°
W  6.987305°		 →
↑
2 077.90 m
↓
↑
2 077.90 m
↓
S 31.746854°
W  7.009277°		 ← 2 077.72 m →
4 317 729 m²		 S 31.746854°
W  6.987305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480560302734375 y=0.593048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480560302734375 × 214)
    floor (0.480560302734375 × 16384)
    floor (7873.5)     		tx = 7873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593048095703125 × 214)
    floor (0.593048095703125 × 16384)
    floor (9716.5)     		ty = 9716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7873 / 9716 ti = "14/7873/9716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7873/9716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7873 ÷ 214
    7873 ÷ 16384     		x = 0.48052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9716 ÷ 214
    9716 ÷ 16384     		y = 0.593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.18603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584446680167725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12233497} λ = -0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584446680167725))-π/2
    2×atan(0.557414204832479)-π/2
    2×0.508517672243947-π/2
    1.01703534448789-1.57079632675     		φ = -0.55376098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55376098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.728167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7873 KachelY 9716 -0.12233497 -0.55376098 -7.009277 -31.728167
    Oben rechts KachelX + 1 7874 KachelY 9716 -0.12195147 -0.55376098 -6.987305 -31.728167
    Unten links KachelX 7873 KachelY + 1 9717 -0.12233497 -0.55408713 -7.009277 -31.746854
    Unten rechts KachelX + 1 7874 KachelY + 1 9717 -0.12195147 -0.55408713 -6.987305 -31.746854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55376098--0.55408713) × R
    0.000326150000000025 × 6371000     		dl = 2077.90165000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55376098--0.55408713) × R
    0.000326150000000025 × 6371000     		dr = 2077.90165000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12233497--0.12195147) × cos(-0.55376098) × R
    0.000383499999999995 × 0.850552681019615 × 6371000     		do = 2078.13707865256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12233497--0.12195147) × cos(-0.55408713) × R
    0.000383499999999995 × 0.85038111680904 × 6371000     		du = 2077.71789950549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55376098)-sin(-0.55408713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850552681019615-0.85038111680904)×R²
    abs(-0.12195147--0.12233497)×0.000171564210574404×R²
    0.000383499999999995×0.000171564210574404×6371000²
    0.000383499999999995×0.000171564210574404×40589641000000     		ar = 4317728.99641221m²