Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78725 / 60025
↖ ↑ ↗
← N 14.963360°
E 36.224670°		 ← 295.07 m → N 14.963360°
E 36.227417°		 →
↑
295.10 m
↓
↑
295.10 m
↓
N 14.960706°
E 36.224670°		 ← 295.07 m →
87 077 m²		 N 14.960706°
E 36.227417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600627899169922 y=0.457958221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600627899169922 × 217)
    floor (0.600627899169922 × 131072)
    floor (78725.5)     		tx = 78725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457958221435547 × 217)
    floor (0.457958221435547 × 131072)
    floor (60025.5)     		ty = 60025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78725 / 60025 ti = "17/78725/60025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78725/60025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78725 ÷ 217
    78725 ÷ 131072     		x = 0.600624084472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60025 ÷ 217
    60025 ÷ 131072     		y = 0.457954406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600624084472656 × 2 - 1) × π
    0.201248168945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.63223977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457954406738281 × 2 - 1) × π
    0.0840911865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.264180253806129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63223977} λ = 0.63223977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.264180253806129))-π/2
    2×atan(1.30236293101962)-π/2
    2×0.915978111398551-π/2
    1.8319562227971-1.57079632675     		φ = 0.26115990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63223977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.224670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26115990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.963360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78725 KachelY 60025 0.63223977 0.26115990 36.224670 14.963360
    Oben rechts KachelX + 1 78726 KachelY 60025 0.63228771 0.26115990 36.227417 14.963360
    Unten links KachelX 78725 KachelY + 1 60026 0.63223977 0.26111358 36.224670 14.960706
    Unten rechts KachelX + 1 78726 KachelY + 1 60026 0.63228771 0.26111358 36.227417 14.960706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26115990-0.26111358) × R
    4.63199999999886e-05 × 6371000     		dl = 295.104719999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26115990-0.26111358) × R
    4.63199999999886e-05 × 6371000     		dr = 295.104719999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63223977-0.63228771) × cos(0.26115990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966091140394227 × 6371000     		do = 295.069101462157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63223977-0.63228771) × cos(0.26111358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966103099241787 × 6371000     		du = 295.072754002023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26115990)-sin(0.26111358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966091140394227-0.966103099241787)×R²
    abs(0.63228771-0.63223977)×1.19588475595567e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19588475595567e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19588475595567e-05×40589641000000     		ar = 87076.8235240683m²