Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78722 / 60031
↖ ↑ ↗
← N 14.947439°
E 36.216431°		 ← 295.09 m → N 14.947439°
E 36.219178°		 →
↑
295.10 m
↓
↑
295.10 m
↓
N 14.944785°
E 36.216431°		 ← 295.09 m →
87 083 m²		 N 14.944785°
E 36.219178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600605010986328 y=0.458003997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600605010986328 × 217)
    floor (0.600605010986328 × 131072)
    floor (78722.5)     		tx = 78722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458003997802734 × 217)
    floor (0.458003997802734 × 131072)
    floor (60031.5)     		ty = 60031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78722 / 60031 ti = "17/78722/60031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78722/60031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78722 ÷ 217
    78722 ÷ 131072     		x = 0.600601196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60031 ÷ 217
    60031 ÷ 131072     		y = 0.458000183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600601196289062 × 2 - 1) × π
    0.201202392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.63209596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458000183105469 × 2 - 1) × π
    0.0839996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.263892632408409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63209596} λ = 0.63209596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263892632408409))-π/2
    2×atan(1.30198839743758)-π/2
    2×0.915839171999079-π/2
    1.83167834399816-1.57079632675     		φ = 0.26088202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63209596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26088202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.947439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78722 KachelY 60031 0.63209596 0.26088202 36.216431 14.947439
    Oben rechts KachelX + 1 78723 KachelY 60031 0.63214390 0.26088202 36.219178 14.947439
    Unten links KachelX 78722 KachelY + 1 60032 0.63209596 0.26083570 36.216431 14.944785
    Unten rechts KachelX + 1 78723 KachelY + 1 60032 0.63214390 0.26083570 36.219178 14.944785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26088202-0.26083570) × R
    4.63199999999886e-05 × 6371000     		dl = 295.104719999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26088202-0.26083570) × R
    4.63199999999886e-05 × 6371000     		dr = 295.104719999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63209596-0.63214390) × cos(0.26088202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966162852069532 × 6371000     		do = 295.091004053654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63209596-0.63214390) × cos(0.26083570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966174798481606 × 6371000     		du = 295.094652795402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26088202)-sin(0.26083570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966162852069532-0.966174798481606)×R²
    abs(0.63214390-0.63209596)×1.19464120739154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19464120739154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19464120739154e-05×40589641000000     		ar = 87083.2865217283m²