Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78719 / 61312
↖ ↑ ↗
← N 11.523088°
E 36.208191°		 ← 299.21 m → N 11.523088°
E 36.210937°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
N 11.520396°
E 36.208191°		 ← 299.21 m →
89 537 m²		 N 11.520396°
E 36.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600582122802734 y=0.467777252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600582122802734 × 217)
    floor (0.600582122802734 × 131072)
    floor (78719.5)     		tx = 78719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467777252197266 × 217)
    floor (0.467777252197266 × 131072)
    floor (61312.5)     		ty = 61312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78719 / 61312 ti = "17/78719/61312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78719/61312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78719 ÷ 217
    78719 ÷ 131072     		x = 0.600578308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61312 ÷ 217
    61312 ÷ 131072     		y = 0.4677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600578308105469 × 2 - 1) × π
    0.201156616210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.63195215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63195215} λ = 0.63195215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202485463995117))-π/2
    2×atan(1.2244422864935)-π/2
    2×0.885956071889753-π/2
    1.77191214377951-1.57079632675     		φ = 0.20111582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63195215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.208191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20111582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.523088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78719 KachelY 61312 0.63195215 0.20111582 36.208191 11.523088
    Oben rechts KachelX + 1 78720 KachelY 61312 0.63200008 0.20111582 36.210937 11.523088
    Unten links KachelX 78719 KachelY + 1 61313 0.63195215 0.20106885 36.208191 11.520396
    Unten rechts KachelX + 1 78720 KachelY + 1 61313 0.63200008 0.20106885 36.210937 11.520396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20111582-0.20106885) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20111582-0.20106885) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63195215-0.63200008) × cos(0.20111582) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.979844288556578 × 6371000     		do = 299.207241037032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63195215-0.63200008) × cos(0.20106885) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.979853670333718 × 6371000     		du = 299.210105875545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20111582)-sin(0.20106885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979844288556578-0.979853670333718)×R²
    abs(0.63200008-0.63195215)×9.38177714071564e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.38177714071564e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.38177714071564e-06×40589641000000     		ar = 89536.9598164575m²