Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78718 / 61054
↖ ↑ ↗
← N 12.216549°
E 36.205444°		 ← 298.51 m → N 12.216549°
E 36.208191°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.213865°
E 36.205444°		 ← 298.51 m →
89 100 m²		 N 12.213865°
E 36.208191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600574493408203 y=0.465808868408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600574493408203 × 217)
    floor (0.600574493408203 × 131072)
    floor (78718.5)     		tx = 78718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465808868408203 × 217)
    floor (0.465808868408203 × 131072)
    floor (61054.5)     		ty = 61054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78718 / 61054 ti = "17/78718/61054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78718/61054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78718 ÷ 217
    78718 ÷ 131072     		x = 0.600570678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61054 ÷ 217
    61054 ÷ 131072     		y = 0.465805053710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600570678710938 × 2 - 1) × π
    0.201141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63190421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465805053710938 × 2 - 1) × π
    0.068389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.214853184097092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63190421} λ = 0.63190421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214853184097092))-π/2
    2×atan(1.23967987888408)-π/2
    2×0.892007665177348-π/2
    1.7840153303547-1.57079632675     		φ = 0.21321900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63190421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.205444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21321900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.216549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78718 KachelY 61054 0.63190421 0.21321900 36.205444 12.216549
    Oben rechts KachelX + 1 78719 KachelY 61054 0.63195215 0.21321900 36.208191 12.216549
    Unten links KachelX 78718 KachelY + 1 61055 0.63190421 0.21317215 36.205444 12.213865
    Unten rechts KachelX + 1 78719 KachelY + 1 61055 0.63195215 0.21317215 36.208191 12.213865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21321900-0.21317215) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21321900-0.21317215) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63190421-0.63195215) × cos(0.21321900) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.97735481631069 × 6371000     		do = 298.509318014752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63190421-0.63195215) × cos(0.21317215) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.97736472903052 × 6371000     		du = 298.512345614542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21321900)-sin(0.21317215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97735481631069-0.97736472903052)×R²
    abs(0.63195215-0.63190421)×9.91271983019626e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91271983019626e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91271983019626e-06×40589641000000     		ar = 89099.9160859293m²