Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7871 / 9891
↖ ↑ ↗
← S 34.939985°
W  7.053223°		 ← 2 002.88 m → S 34.939985°
W  7.031250°		 →
↑
2 002.66 m
↓
↑
2 002.66 m
↓
S 34.957995°
W  7.053223°		 ← 2 002.44 m →
4 010 654 m²		 S 34.957995°
W  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480438232421875 y=0.603729248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480438232421875 × 214)
    floor (0.480438232421875 × 16384)
    floor (7871.5)     		tx = 7871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603729248046875 × 214)
    floor (0.603729248046875 × 16384)
    floor (9891.5)     		ty = 9891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7871 / 9891 ti = "14/7871/9891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7871/9891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7871 ÷ 214
    7871 ÷ 16384     		x = 0.48040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9891 ÷ 214
    9891 ÷ 16384     		y = 0.60369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.2073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.651558339635803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12310196} λ = -0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651558339635803))-π/2
    2×atan(0.521232885680085)-π/2
    2×0.480489272658752-π/2
    0.960978545317503-1.57079632675     		φ = -0.60981778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60981778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.939985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7871 KachelY 9891 -0.12310196 -0.60981778 -7.053223 -34.939985
    Oben rechts KachelX + 1 7872 KachelY 9891 -0.12271846 -0.60981778 -7.031250 -34.939985
    Unten links KachelX 7871 KachelY + 1 9892 -0.12310196 -0.61013212 -7.053223 -34.957995
    Unten rechts KachelX + 1 7872 KachelY + 1 9892 -0.12271846 -0.61013212 -7.031250 -34.957995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60981778--0.61013212) × R
    0.000314339999999969 × 6371000     		dl = 2002.6601399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60981778--0.61013212) × R
    0.000314339999999969 × 6371000     		dr = 2002.6601399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12310196--0.12271846) × cos(-0.60981778) × R
    0.000383499999999995 × 0.819752392145632 × 6371000     		do = 2002.88339505297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12310196--0.12271846) × cos(-0.61013212) × R
    0.000383499999999995 × 0.819572323443109 × 6371000     		du = 2002.44343706357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60981778)-sin(-0.61013212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819752392145632-0.819572323443109)×R²
    abs(-0.12271846--0.12310196)×0.000180068702523739×R²
    0.000383499999999995×0.000180068702523739×6371000²
    0.000383499999999995×0.000180068702523739×40589641000000     		ar = 4010654.2301988m²