Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78697 / 83992
↖ ↑ ↗
← S 45.135555°
E 36.147766°		 ← 215.41 m → S 45.135555°
E 36.150513°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.137492°
E 36.147766°		 ← 215.40 m →
46 400 m²		 S 45.137492°
E 36.150513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600414276123047 y=0.640811920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600414276123047 × 217)
    floor (0.600414276123047 × 131072)
    floor (78697.5)     		tx = 78697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640811920166016 × 217)
    floor (0.640811920166016 × 131072)
    floor (83992.5)     		ty = 83992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78697 / 83992 ti = "17/78697/83992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78697/83992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78697 ÷ 217
    78697 ÷ 131072     		x = 0.600410461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83992 ÷ 217
    83992 ÷ 131072     		y = 0.64080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.600410461425781 × 2 - 1) × π
    0.200820922851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.63089754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.2816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.884723419387756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63089754} λ = 0.63089754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884723419387756))-π/2
    2×atan(0.412828337804896)-π/2
    2×0.391516139776516-π/2
    0.783032279553031-1.57079632675     		φ = -0.78776405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63089754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.147766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78776405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.135555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78697 KachelY 83992 0.63089754 -0.78776405 36.147766 -45.135555
    Oben rechts KachelX + 1 78698 KachelY 83992 0.63094547 -0.78776405 36.150513 -45.135555
    Unten links KachelX 78697 KachelY + 1 83993 0.63089754 -0.78779786 36.147766 -45.137492
    Unten rechts KachelX + 1 78698 KachelY + 1 83993 0.63094547 -0.78779786 36.150513 -45.137492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78776405--0.78779786) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dl = 215.403509999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78776405--0.78779786) × R
    3.3809999999912e-05 × 6371000     		dr = 215.403509999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63089754-0.63094547) × cos(-0.78776405) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70543186930136 × 6371000     		do = 215.41210763669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63089754-0.63094547) × cos(-0.78779786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705407905122946 × 6371000     		du = 215.404789886522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78776405)-sin(-0.78779786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70543186930136-0.705407905122946)×R²
    abs(0.63094547-0.63089754)×2.39641784143263e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39641784143263e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39641784143263e-05×40589641000000     		ar = 46399.7359511905m²